2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم

أنت تبحث عن كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم ، سنشارك معك اليوم مقالة حول دائرة – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها بواسطة فريقنا من عدة مصادر على الإنترنت. آمل أن تكون هذه المقالة التي تتناول موضوع كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم مفيدة لك.

جدول المحتويات

دائرة – ويكيبيديا

دائرة
أساسيات الدائرة.svg
رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.
معلومات عامة
النوع
 Incomplete list.svg القائمة …
منحني ريباكور — محل هندسي — قطع ناقص — وردة — هايبرسفير — قطع مخروطيالاطلاع ومراجعة البيانات على ويكي داتا
الحواف
حافة واحدة
أويلر
0الاطلاع ومراجعة البيانات على ويكي داتا
مساحة السطح
ط نق2 أو

πr2\displaystyle \pi r^2

المحيط
2ط نق أو

2πr\displaystyle 2\pi r

الزاوية
عديمة الزَّوايا.
الخصائص
مُنحنىً.
كرةالاطلاع ومراجعة البيانات على ويكي داتا

تعديل – تعديل مصدري – تعديل ويكي بياناتحول القالب

في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما.[ملاحظة 1][ِ 1][ِ 2][ِ 3] تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها قطعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قطع مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.[ِ 4][1][2]

ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي

π\displaystyle \pi

أو ط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة

π\displaystyle \pi

عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين[3] وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك.[4] قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة

π\displaystyle \pi

بدقةٍ عاليةٍ.[5] وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب

π\displaystyle \pi

في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.[6]

وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.[7][8]

تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات.[9][ِ 5] تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».[10][11]تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.[12]

القُطوعُ المخروطيَّةُ
هذه المقالةُ جزءٌ من سلسلةِ القطوع المخروطية
لا يوجد
قطع مكافئ
المعادلة

y2=4ax\displaystyle y^2=4ax\,

الانحراف المركزي(

e\displaystyle e

)

1\displaystyle 1\,

البعد البؤري(

l\displaystyle l

)

2a\displaystyle 2a\,

Parabola (PSF).png Parabola.svg
قطع زائد
المعادلة

x2a2y2b2=1\displaystyle \frac x^2a^2-\frac y^2b^2=1

الانحراف المركزي (

e\displaystyle e

)

1+b2a2{\displaystyle {\sqrt 1+\frac b^2a^2}}

البعد البؤري(

l\displaystyle l

)

b2a\displaystyle \frac b^2a

Hyperbola (PSF).svg Hyperbola2.svg
قطع ناقص
المعادلة

x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac x^2a^2+\frac y^2b^2=1

الانحراف المركزي (

e\displaystyle e

)

1b2a2{\displaystyle {\sqrt 1-\frac b^2a^2}}

البعد البؤري (

l\displaystyle l

)

b2a\displaystyle \frac b^2a

Ellipse-conic.svg CoA dames 220x300.svg
دائرة (حالة خاصة من القطع الناقص)
المعادلة

x2+y2=a2\displaystyle x^2+y^2=a^2\,

الانحراف المركزي (

e\displaystyle e

)

0\displaystyle 0

البعد البؤري (

l\displaystyle l

)

a\displaystyle a

Konusni presek - Krug.png Disk 1.svg
• • •
  • ع
  • ن
  • ت

Nuvola apps edu mathematics-ar.svg تتضمن هذه المقالة محارف خاصة. من غير تصيير مناسب، قد تظهر علامات استفهام أو صناديقَ أو رموزٌ أخرى.

مصطلحات أساسية[عدل]

\displaystyle O

» للإشارة إليها.[ِ 2] ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د»[ِ 4]

جدول مصطلحات الدائرة الأساسية[13][ِ 4][ِ 2]
تعريفات الدائرة الرئيسة.svg
المصطلح التّعريف الترميز العربي التّرميز اللاتيني ملاحظة
مركز نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط. م

O\displaystyle O

أو

M\displaystyle M

[ملاحظة 3]
محيط مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز. مح

CO\displaystyle C_O

[ملاحظة 4]
مساحة منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة. م

A\displaystyle A

[ملاحظة 5]
نصف قطر أو الشعاع: قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط. نق

r\displaystyle r

[ملاحظة 6]
وتر قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.
قطر وتر مار بمركز الدائرة. ق

d\displaystyle d

[ملاحظة 7]
جدول مصطلحات قِطَع وجُزئيّات الدائرة[13][ِ 4][ِ 2]
الجزء التّعريف الرمز صورة
قوس جزء متّصل من محيط الدائرة. قوس-قطاع-قطعة.svg
قطاع مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما.
قطعة مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.
قرص مساحة تحصرها دائرة. Circle Grey Solid.svg
نصف قرص مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.[ملاحظة 8] 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 65

التعريف[عدل]

تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو استصنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه…». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء… والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة…».[14][ِ 6] وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle)‏ إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».[15]

وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى.[ملاحظة 9] وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة[16]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.[1][17]

تعريف إقليدس[عدل]

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:[ِ 4]

   

دائرة

الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً
   

دائرة

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:[18]

تعريف إقليدس في نظرية المجموعات — إذا وقعت النقطة

O\displaystyle O

على المستوى

E\displaystyle E

فإن الدائرة

C\displaystyle C

التي مركزها

O\displaystyle O

ونصف قطرها

r\displaystyle r

هي مجموعة جميع النقاط

M\displaystyle M

التي تنتمي إلى المستوى

E\displaystyle E

، وتبعد عن النقطة

O\displaystyle O

مسافةً مقدارها

r\displaystyle r

.

ويمكن صياغة التعريف السابق رياضيَّاً بالشكل التالي:
C(O,r)=ME : OM¯=r\displaystyle C(O,r)=\left\M\in E~:~\overline OM=r\right\

تعريف أبولونيوس[عدل]

أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ

A,B\displaystyle A,B

نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها

A,B\displaystyle A,B

هي المحل الهندسي لجميع النقاط

P\displaystyle P

التي تُحقِّقُ أنَّ:[19][20][21]

|AP||BP|=|AC||BC|\displaystyle \frac =\frac BC

النسبة التبادلية لدائرة

تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين

AC¯,BD¯\displaystyle \overline AC,\overline BD

أو لرباعية النقاط

A,B,C,D\displaystyle A,B,C,D

المتسامتة على الترتيب:

(A,B;C,D)=ACBDBCAD\displaystyle (A,B;C,D)=\frac AC\cdot BDBC\cdot AD

حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية:

(z1,z2;z3,z4)=(z3z1)(z4z2)(z3z2)(z4z1).\displaystyle (z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac (z_3-z_1)(z_4-z_2)(z_3-z_2)(z_4-z_1).

. إذا كانت النقاط

A,C,B\displaystyle A,C,B

مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط

P\displaystyle P

التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.

|[A,B;C,P]|=1. =1.\

. بمعنىً آخر:

P\displaystyle P

هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط

A,C,B\displaystyle A,C,B

إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية

[A,B;C,P]\displaystyle [A,B;C,P]

مساوياً للواحد.[22][23][24]

تُعرّفُ النقطة

D\displaystyle D

على أنّها المرافق التوافقي للنقطة

C\displaystyle C

بالنسبة لـ

A\displaystyle A

و

B\displaystyle B

. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي

1\displaystyle -1

. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[25] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[25] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط

PA,PB,PC,PD\displaystyle \overleftrightarrow PA,\overleftrightarrow PB,\overleftrightarrow PC,\overleftrightarrow PD

«حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي

1\displaystyle -1

). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها

P\displaystyle P

يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.[26]

تعريف الدائرة المعممة[عدل]

في حال ما كانت

C\displaystyle C

منتصف القطعة

AB¯\displaystyle \overline AB

فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط

P\displaystyle P

التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم.[27][28] هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.[29][30]

تأويل لانهائي[عدل]

بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)‏[ملاحظة 10] يُرمز إليه بالرمز

r\displaystyle r

أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius)‏[ملاحظة 11] يُرمز إليه بالرمز

R\displaystyle R

باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية:[31]

C=limn2rntan(πn)=2πr=limn2Rnsin(πn)=2πR{\displaystyle \beginalignedC=\lim _n\to \infty 2rn\tan (\tfrac \pi n)=2\pi r\\=\lim _n\to \infty 2Rn\sin (\tfrac \pi n)=2\pi R\endaligned}

والمساحة، عبر العلاقة:[31]

A=limnnr2tan(πn)=πr2=limn12nR2sin(2πn)=πR2{\displaystyle \beginalignedA=\lim _n\to \infty nr^2\tan (\pi n)=\pi r^2\\=\lim _n\to \infty \tfrac 12nR^2\sin (\tfrac 2\pi n)=\pi R^2\endaligned}

والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.[31]

الدائرة بوصفها حالة حدية[عدل]

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.[32]البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق:

|xa|n+|yb|n=1\displaystyle \left

حيث أنَّ

n,a,b\displaystyle n,a,b

أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه

a=b\displaystyle a=b

. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما

n=2\displaystyle n=2

.[33]

القطوع المخروطية[عدل]

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر (

e=0\displaystyle e=0

) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.[31]

استيفاء المساحة[عدل]

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.[34]

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.[35]

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.[35]

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:[35][36]

4πAL2\displaystyle 4\pi A\leq L^2

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع

R\displaystyle R

هو

πR2\displaystyle \pi R^2

ومُحيطُ الدائرةِ هو

2πr\displaystyle 2\pi r

بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان

4πR2\displaystyle 4\pi R^2

. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز.[35] لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:[35]

Q=4πAL2\displaystyle Q=\frac 4\pi AL^2

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ

Q1\displaystyle Q\leq 1

بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط

L2A\displaystyle \frac L^2A

هي على الأقل

4π\displaystyle 4\pi

لكل منحنى.[36] أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:[36]

Qn=πntanπn.{\displaystyle Q_n=\frac \pi n\tan \tfrac \pi n.}

. إذا كان

C\displaystyle C

منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:[35]

L24πA+8π|A~0.5|,\displaystyle L^2\geqslant 4\pi A+8\pi \left

حيث أن

L,A,A~0.5\displaystyle L,A,\widetilde A_0.5

ترمز إلى طول

C\displaystyle C

والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان

C\displaystyle C

منحنى ثابت العرض.[35]

دوائر بإعادة تعريف المسافة[عدل]

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-

p\displaystyle p

(بالإنجليزية: p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:[37][38]

xp=(|x1|p+|x2|p++|xn|p)1/p.^p+\dotsb +

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون

p=2\displaystyle p=2

، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:[37][38]

x2=|x1|2+|x2|2++|xn|2._2=\sqrt x_1.

في هندسة سيارة الأجرة، تكون

p=2\displaystyle p=2

. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع

r\displaystyle r

في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع

2r\displaystyle 2r

. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.[37][38]

النَّتائِجُ التَّحليليَّة[عدل]

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة

r=d2\displaystyle r=\frac d2

. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر[ملاحظة 12] يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.[ِ 2][ِ 7][39] وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.[40]

المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة

π\displaystyle \pi

[</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding=”application/x-tex”>\displaystyle \pi </annotation>
</semantics>
</math></span><img src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a” aria-hidden=”true” alt=”\displaystyle \pi “/></span>’>عدل]

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
PI constant.svg
الاستعمالات
  • مساحة القرص
  • المحيط
    • صيغ أخرى
الخواص
  • لا نسبية
  • عدد متسام
القيمة
  • تقريبات
  • تذكّر
  • أقل من 22/7
أشخاص
  • أرشميدس
  • ليو هوي
  • زو تشونغزي
  • أريابهاتا
  • مادهافا السنغماراي
  • لودولف فان ساولن
  • سيكي تاكاكازو
  • تاكيبي كينكو
  • ويليام جونز
  • جون ماكن
  • ويليام شانكس
  • جون رنش
  • الإخوان شودنوفسكي
  • ياسوماسا كانادا
تاريخ
  • تسلسل زمني
  • كتاب
متعلقات
متعلقات:

  • تربيع الدائرة
  • معضلة بازل
  • نقطة فينمان
  • أخرى
  • شعار بوابة بوابة هندسة رياضية
  • ع
  • ن
  • ت

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها.[ملاحظة 13] ويُرمز لهذه النسبة بـ«

π\displaystyle \pi

»[ملاحظة 14] أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة

π\displaystyle \pi

وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:[ِ 7][ِ 4]

Cd=πC=πd=2πrd=Cπ\displaystyle \frac Cd=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d=\frac C\pi

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة

π\displaystyle \pi

، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة

π\displaystyle \pi

:[41]

π2273.14\displaystyle \pi \approx \frac 227\approx 3.14

π355113=3.14159 29+\displaystyle \pi \approx \frac 355113=3.14159\ 29^+

على الرغم من تعريف

π\displaystyle \pi

الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى

π\displaystyle \pi

تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني

π\displaystyle \pi

منذ منتصف القرن الثامن عشر. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي،

π\displaystyle \pi

لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة

a/b\displaystyle a/b

. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب

π\displaystyle \pi

. كما أن

π\displaystyle \pi

عدد متسامٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة.[42][43] في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ

π\displaystyle \pi

إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية.[44][45] تعلق الثابت

π\displaystyle \pi

بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

المِساحَةُ[عدل]

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ

π\displaystyle \pi

. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه

πr\displaystyle \pi r

وعَرْضُه

r\displaystyle r

. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:[ِ 7]

Area=πrr=πr2=πd240.7854d2\displaystyle \mathrm Area =\pi r\cdot r=\pi r^2=\frac \pi d^24\approx 0.7854d^2

الأقْواسُ[عدل]

يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ

360\displaystyle 360^\circ

. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:[ِ 2]

الدرجة الراديان
Protractor Rapporteur Degrees V3.jpg Angle radian.svg
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه

1360\displaystyle \frac 1360

من قياس الدائرة كاملةً.

يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية

r\displaystyle r

.

كانت

A,B\displaystyle A,B

نقطتين مختلفتين على الدائرة

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر

AB^\displaystyle \widehat AB

، وقوس أكبر

AB^\displaystyle \widehat AB

يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر

AB^\displaystyle \widehat AB

أحياناً بالرمز

ACB^\displaystyle \widehat ACB

عِوَضاً عن ذكر «

AB^\displaystyle \widehat AB

الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر

AB^\displaystyle \widehat AB

على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية

AOB\displaystyle \angle AOB

الداخلية[ملاحظة 15] ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين

A,B\displaystyle A,B

على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن

180\displaystyle 180^\circ

. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر

AB^\displaystyle \widehat AB

هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية

AOB\displaystyle \angle AOB

المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين

A,B\displaystyle A,B

على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن

180\displaystyle 180^\circ

. تُسمَّى النقطتان

A,B\displaystyle A,B

طرفا القوس

AB^\displaystyle \widehat AB

أو طرفا الوتر

AB¯\displaystyle \overline AB

. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ

A,B\displaystyle A,B

نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.[ِ 2]

إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي

\displaystyle \ell

، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.[13][46]

lCO=l2πr=θ360=πrθ180\displaystyle \frac lC_O=\frac l2\pi r=\frac \theta ^\circ 360^\circ \Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot \frac \theta ^\circ 180^\circ

القوس الأصغر

AB^\displaystyle \widehat AB

القوس الأكبر

AB^\displaystyle \widehat AB

(أو اختصاراً

ACB^\displaystyle \widehat ACB

)

نصف الدَّائرة

ADB^\displaystyle \widehat ADB

2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 66 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 67 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 68

القطع والجزئيات[عدل]

القرص[عدل]

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[ِ 2]

C(O,r)Int C(O,r)=PE : OP¯r\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\P\in E~:~\overline OP\leq r\right\

.

القطاع[عدل]

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.[ِ 7][47]

AS=πr2v360=(v rad)r2\displaystyle A_S=\pi r^2\cdot \frac v360^\circ =(v\text rad)\cdot r^2

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى

360\displaystyle 360^\circ

مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة

100%\displaystyle 100\%

.[48]

الزوايا[عدل]

2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 69 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 70 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 71
تصنيفات الزوايا المتعلقة بالدائرة حسب موقع رأسها:[ِ 3][20][49][13]
الزاوية التّعريف موقع رأس الزَّاوية قياس الزَّاوية ملاحظة
زاوية مركزية زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ

v\displaystyle v

مركز الدَّائرة قياس القوس المقابل [ملاحظة 16]
زاوية محيطية زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط محيط الدَّائرة نصف قياس القوس المقابل [ملاحظة 17]
زاوية مماسية زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس محيط الدائرة نصف قياس القوس المَحصُور. [ملاحظة 18]
زاوية خارجة زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة محيط الدائرة قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي.
زاوية داخلية زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة داخل الدَّائرة نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس
زاوية خارجيَّة زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة خارج الدَّائرة نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها
حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية[49][ِ 3][13][20][ِ 8]
الحالة الأولى الحالة الثَّانية الحالة الثَّالثة مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة)
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 72 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 73 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 74 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 75
يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ. يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ. يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة. الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ.
جزء من سلسلة مقالات حول
الزوايا
Complement angle.svg
وفق القياس
  • زاوية مُنعدمة
  • زاوية حادة
  • زاوية قائمة
  • زاوية منفرجة
  • زاوية مستقيمة
  • زاوية منعكسة
وفق العلاقات البينية
  • زاويتان متجاورتان.
  • زاويتان متتامتان.
  • زاويتان متكاملتان.
  • زاويتان متقابلتان بالرأس.
الناتجة عن قاطع
  • زوايا داخلية
  • زوايا خارجية
  • زوايا متبادلة داخلياً
  • زوايا متبادلة خارجياً
  • زوايا متحالفة
  • زوايا متناظرة
قياس الزوايا
  • درجة
  • راديان

  • شعار بوابة بوابة هندسة رياضية
  • ع
  • ن
  • ت

مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية — الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.

المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.[49][ِ 3][ِ 8]

مبرهنة الزاوية الداخلية — الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.

مبرهنة الزاوية الخارجية — الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.

النقاط[عدل]

2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 76 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 77
النِّقاطُ

P1,P2,P3\displaystyle P_1,P_2,P_3

هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.

النقطتانِ

P,P\displaystyle P,P’

نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:[ِ 2][ِ 1]

التصنيف التعريف الترميز مراجع
نقطة داخلية نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.

Int C(O,r)\displaystyle Int~C(O,r)

[ملاحظة 19]
نقطة مُحيطيَّة نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر.

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

نقطة خارجيَّة نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.

Ext C(O,r)\displaystyle Ext~C(O,r)

[ملاحظة 20]
نقطتان متقابلتان أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة

P,P\displaystyle P,P’

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها

O\displaystyle O

والنقطة المتغيِّرةُ

P\displaystyle P

، فإنَّ مجموعة نقاط

P\displaystyle P

في المستوى

E\displaystyle E

تُعرَّف على أنَّها:[ِ 1][ِ 2][39]

Int C(O,r)=PE : OP¯<r\displaystyle Int~C(O,r)=\left\P\in E~:~\overline OP<r\right\

Ext C(O,r)=PE : PQ¯>r\displaystyle Ext~C(O,r)=\left\P\in E~:~\overline PQ>r\right\

تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.[ِ 2]

برهان

لتكن

A,BInt C(O,r)\displaystyle A,B\in Int~C(O,r)

ولتكن

PAB¯\displaystyle P\in \overline AB

من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن

OA,OB<r\displaystyle OA,OB<r

، ولأن

P\displaystyle P

على القطعة المستقيمة

AB¯\displaystyle \overline AB

فهذا يعني أن إحدى الزاويتين

OPA,OPB\displaystyle \angle OPA,\angle OPB

غير منفرجة.[ملاحظة 21] بفرض – دون فقد العموميَّة – أنَّ

OPA90\displaystyle \angle OPA\leq 90^\circ

، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث

OPB\displaystyle \triangle OPB

:

OP<OB<r\displaystyle OP<OB<r

إذن

PInt C(O,r)\displaystyle P\in Int~C(O,r)

.

يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.[ِ 2]

P,PC(O,r) : PP¯=2r\displaystyle \left\P,P’\in C(O,r)~:~\overline PP’=2r\right\

قوة النقطة[عدل]

تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة

P\displaystyle P

بالنسبة للدائرة

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

هي المقدار:

Pow(P)=OP2r2\displaystyle \mathcal Pow(P)=OP^2-r^2

. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ

P\displaystyle P

تكونُ مقداراً سالباً عندما

OP<r\displaystyle OP<r

أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ

Pow(P)\displaystyle \mathcal Pow(P)

هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي

Pow(P)\displaystyle \mathcal Pow(P)

.[ِ 8][50][51]

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن

T\displaystyle T

نقطة تماس المماس الخارج من

P\displaystyle P

إلى الدائرة

O\displaystyle O

. من مبرهنة التعامد:

OTPT\displaystyle OT\perp PT

، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم:

OTP\displaystyle \triangle OTP

، فإنَّ

OT2+PT2=OP2\displaystyle OT^2+PT^2=OP^2

أو بشكلٍ مكافئ:

OP2OT2=PT2=OP2r2\displaystyle OP^2-OT^2=PT^2=OP^2-r^2

.[ِ 8][ِ 3]

نظريات قوة النُّقطة[ِ 3][49][ِ 8]
الاسم الصيغة الرياضية النص
مبرهنة قِطَع الوتر

Pow(P)=P1BP1D=P1AP1C\displaystyle \mathcal Pow(P)=P_1B\cdot P_1D=P_1A\cdot P_1C

إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
مبرهنة القاطع

Pow(P)=P2XP2Y=P2ZP2W\displaystyle \mathcal Pow(P)=P_2X\cdot P_2Y=P_2Z\cdot P_2W

إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
مبرهنة قاطعُ التَّماسِ

Pow(P)=PT2=PAPB\displaystyle \mathcal Pow(P)=PT^2=PA\cdot PB

إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.[52]
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 78 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 79
مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع. مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.

أزواج الدوائر[عدل]

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائِرِ حَسب بُعدِها عن بعضها[20][ِ 2][53]
دائرتان متباعدتان دائرتان متماستان دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
دائرتان متباعدتان2.svg دائرتان متباعدتان.svg خارجيَّاً داخليَّاً دائرتان متقاطعتان.svg دائرتان متقاطعتان2.svg
دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى
دائرتان متقاطعتان1.svg دائرتان متماستان.svg

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار

r1\displaystyle r_1

نصف قطر الدائرة الأولى و

r2\displaystyle r_2

نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم

\displaystyle \ell

الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:[54]

r1+r2<<r1r2\displaystyle r_1+r_2<\ell <r_1-r_2

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائرِ حَسب مَرَاكِزِها وَأنْصافِ أقْطارِها[ِ 3][55]
Orthogonal circle.svg
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 80
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 81
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 82
الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما. الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه. الدائرتان متحدتا المركز أو في الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه. الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.

الدائرتان متحدتا المركز:

O\displaystyle \odot O

التي نصف قطرها

OA¯\displaystyle \overline OA

و

O\displaystyle \odot O

التي نصف قطرها

OB¯\displaystyle \overline OB

دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان:

O1O2O1A¯O2B¯\displaystyle \odot O_1\cong \odot O_2\Leftrightarrow \overline O_1A\cong \overline O_2B

.[ِ 2]

أشكالٌ مُركَّبةٌ من دوائرَ[ِ 2][56]
CircleRing.svg عدسة تقاطع دائرتين.svgGeometric lens examples.png Construction of Reuleaux triangle.svg Arbelos.PNG
الحلقة: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز. العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع. مثلث رولو: تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى الأربيلوس: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما

تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به

θ\displaystyle \theta

بالراديان ونصف قطر الدائرتين

R\displaystyle R

بالصيغة الآتية:[57][58]

A=R2(θsinθ)\displaystyle A=R^2\left(\theta -\sin \theta \right)

بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.[59][60]

الأوتار والمستقيمات[عدل]

رسمٌ يُظهرُ موضع كُلٌ من القاطع والمماس والمار بالنسبة للدائرة. الزّاوية التي يصنعها المماس مع نصف قطر الدائرة هي زاوية قائمة.
تَصْنِيفُ المستقيمات في الدَّائرةِ حسْبَ عدد نقاط تقاطعها معها وبُعدِها عن مركزها[ِ 2]
المستقيم التعريف رياضياً ملاحظة
مستقيمٌ قاطِعٌ مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين. مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (

dist(O,)<r\displaystyle \textdist(O,\ell )<r

)

[ملاحظة 22]
مستقيمٌ مَاسٌّ مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة. مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (

dist(O,)=r\displaystyle \textdist(O,\ell )=r

)

[ملاحظة 23]
مستقيمٌ مَارٌّ مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (

dist(O,)>r\displaystyle \textdist(O,\ell )>r

)

[ملاحظة 22]
مستقيمٌ مُنَصِّفٌ مستقيم يمر بمركز الدائرة. مستقيم يمر بنقطة المركز، أو بُعدُه عن المركز معدومٌ. (

dist(O,)=0\displaystyle \textdist(O,\ell )=0

)

[ملاحظة 22]
RadicalAxisCircles.svg مماس خارجي.svg InternalTangAR.svg
تَصنِيفُ المُستقيمَاتِ المُشتركة في دائرتين[ِ 3][ِ 2][53][55]
المستقيم التَّعريف الترميز
خطُّ مركزين مستقيم يصل بين مركزي دائرتين

O1O2¯\displaystyle \overline O_1O_2

وتر مُشترك وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين

AB¯\displaystyle \overline AB

مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.

T1T2\displaystyle \overleftrightarrow T_1T_2

مماسٌ مشتركٌ داخليّ أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.

T1T2\displaystyle \overleftrightarrow T_1T_2

قطعة تماس قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين

T1T2¯\displaystyle \overline T_1T_2

محور أساسي المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.

AB\displaystyle \overleftrightarrow AB

التناظر في الدائرة[عدل]

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ

O(2,R)\displaystyle O(2,R)

. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة (

T\displaystyle \mathbb T

) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.[61]

T=z .\displaystyle \mathbb T =\=1\~.

في الدائرة ذات المركز

O\displaystyle O

والوتر

AB¯\displaystyle \overline AB

، المثلث

ABO\displaystyle \triangle ABO

متطابق الضلعين. إذا كانت

M\displaystyle M

نقطة منتصف

AB¯\displaystyle \overline AB

فإنَّ

AMOBMO\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO

من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ

AMOBMO\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO

وكذلك

OMAB\displaystyle OM\perp AB

. أيضاً الزاويتان

AOMBOM\displaystyle \angle AOM\cong \angle BOM

. إذا كانت

P,Q\displaystyle P,Q

نقطتا تقاطعِ المستقيمِ

OM\displaystyle OM

مع الدائرة، فإنَّ من تطابق

OAPOBP\displaystyle \triangle OAP\cong \triangle OBP

(SSS) والذي يُنتج

AP¯BP¯\displaystyle \overline AP\cong \overline BP

. كنتيجة، القوسان

AP,BP\displaystyle AP,BP

متطابقان أيضاً. بالمثل،

AOQBOQ\displaystyle \triangle AOQ\cong \triangle BOQ

(من تطابق SAS) و

AQ¯BQ¯\displaystyle \overline AQ\cong \overline BQ

. وهذا يعني أن الدائرةَ

O\displaystyle O

ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر

AB¯\displaystyle \overline AB

. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.[49][ِ 8]

إذا كانت

T\displaystyle T

تقاطع مماسات الدائرة عند

A,B\displaystyle A,B

، فمن مبرهنة فيثاغورس،

TA2=TO2OA2=TO2OB2=TB2\displaystyle TA^2=TO^2-OA^2=TO^2-OB^2=TB^2

. مما يعني أنَّ

TA=TB\displaystyle TA=TB

. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ

OATOBT\displaystyle \angle OAT\cong \angle OBT

، إذن، الزاوية

TOA=TOB\displaystyle TOA=TOB

، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ

T\displaystyle T

تقع على المنصف العمودي لـ

AB\displaystyle AB

. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة

O\displaystyle O

في

AB¯CD¯\displaystyle \overline AB\parallel \overline CD

فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.[49][ِ 8]

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:[49][ِ 3][ِ 2]

  • أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، يتعامد عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.
  • يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
  • الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
  • المماس عند نقطة التماس يتعامد مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
  • المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

التطابق في الدائرة[عدل]

ليكن

AB¯\displaystyle \overline AB

وتراً في الدائرة

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

. بتطبيقِ متباينة المثلث:

OB+OC>AB\displaystyle OB+OC>AB

لكنَّ

OA=OB=r\displaystyle OA=OB=r

، إذن بالتعويض ينتجُ

AB<2r\displaystyle AB<2r

. أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون

AB\displaystyle AB

قطراً في الدائرة.[ملاحظة 24] في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين

AB¯,CD¯\displaystyle \overline AB,\overline CD

لهما الطول نفسه في الدائرة

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون:

OA=OB=OC=OD=r\displaystyle OA=OB=OC=OD=r

. وعلى ذلك

OABOCD\displaystyle \triangle OAB\cong \triangle OCD

، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.[ِ 2]

العمق وطول الوتر[عدل]

عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta)‏ هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره.[62] تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية

θ\displaystyle \theta

في الدائرة التي نصف قطرها

r\displaystyle r

بالصيغة:[ملاحظة 25]

s=rversinθ=r(1cosθ)=2rsin2θ2.\displaystyle s=r\operatorname versin \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^2\frac \theta 2.

بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته

θ\displaystyle \theta

بالصيغة

2rsinθ\displaystyle 2r\sin \theta

.[63] أما إذا أُعطي وترٌ طوله

y\displaystyle y

وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ

x\displaystyle x

فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:[64][65]

r=y28x+x2.\displaystyle r=\frac y^28x+\frac x2.

خط القوة[عدل]

خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis)‏ لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما.انتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:[66][ِ 3]

  • خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
  • خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
  • خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
  • خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
  • لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

مركز القوة[عدل]

لتكن

A,B,C\displaystyle A,B,C

دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.[66]

وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين

A,B\displaystyle A,B

مع محور الأساسي الدائرتين

C,D\displaystyle C,D

في نقطة

M\displaystyle M

فإنَّ المماسات المنطلقة من

M\displaystyle M

لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ:

Pow(M,A)=Pow(M,B)\displaystyle \mathcal Pow(M,A)=\mathcal Pow(M,B)

وأيضاً

Pow(M,B)=Pow(M,C)\displaystyle \mathcal Pow(M,B)=\mathcal Pow(M,C)

فبالتعدّي، يُصبح

Pow(M,C)=Pow(M,A)\displaystyle \mathcal Pow(M,C)=\mathcal Pow(M,A)

وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة

M\displaystyle M

تقعُ على خط القوة للدائرتين

C,A\displaystyle C,A

وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة

M\displaystyle M

. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة

M\displaystyle M

مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.[66]

العلاقات مع المضلعات[عدل]

حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها
Ray (A, B, C).svg 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 83
تسامُتٌ تلاقٍ
ParallelInLines.svg Perpendicular-coloured.svg
توازٍ تعامد
Bisection.svg 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 84
تنصيف انطباقٌ
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 85 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 86
دَائريَّةٌ تماس
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 87 Kegs-ausg-pu-s.svg
السعي نحو اللانهاية انعدامٌ
Skew Lines.svg Coplanar points.png
مُخالَفَةٌ اشتراك في مستوى

لِكلّ مثلثٍ[ملاحظة 26] ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.[ِ 2][67]

هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.[67]

المُثلَّث[عدل]

تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث.[ِ 3][ِ 8] لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث[ملاحظة 27] بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر انتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.[68][ِ 8]

  • يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.

    يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.

  • يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).

    يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).

  • يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

    يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:[24][ِ 8]

a(b2+c2a2):b(c2+a2b2):c(a2+b2c2)\displaystyle a(b^2+c^2-a^2):b(c^2+a^2-b^2):c(a^2+b^2-c^2)

يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:[ِ 3][ِ 8]

2R=asinA=bsinB=csinC.\displaystyle 2R=\frac a\sin A=\frac b\sin B=\frac c\sin C.

كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:[24][ِ 8]

2R=abc2area=|AB||BC||CA|2|ΔABC|=abc2s(sa)(sb)(sc)=2abc(a+b+c)(a+b+c)(ab+c)(a+bc){\displaystyle {\beginaligned2R&=\frac abc2\cdot \textarea=\frac \\[5pt]&=\frac abc2\sqrt s(s-a)(s-b)(s-c)\\[5pt]&=\frac 2abc\sqrt (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\endaligned}}

والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:[24][ِ 8]

2R=2areasinAsinBsinC.{\displaystyle 2R={\sqrt \frac 2\cdot \textarea\sin A\sin B\sin C}.}

تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:[69][70][ِ 8]

OI=R(R2r)\displaystyle OI=\sqrt R(R-2r)

تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:[71][72]

OH=R28R2cosAcosBcosC=9R2(a2+b2+c2).\displaystyle OH=\sqrt R^2-8R^2\cos A\cos B\cos C=\sqrt 9R^2-(a^2+b^2+c^2).

تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:[73]

DF+DG+DH=R+r\displaystyle DF+DG+DH=R+r

دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:[74][75][76][ِ 8]

  • منتصف كل ضلع المثلث.
  • مسقط كل رأس المثلث.
  • منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة

N\displaystyle N

) القطعة المستقيمة

OH¯\displaystyle \overline OH

الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ:

NO¯=NH¯\displaystyle \overline NO=\overline NH

.[68][ِ 8]

الرباعي الدائري[عدل]

الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه.[ملاحظة 28] الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:[ِ 3][77]

  • تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
  • وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
  • وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً:
    CAD=CBD\displaystyle \angle CAD=\angle CBD

    )

  • انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.انتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً
  • انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.انتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً

جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.[78][ِ 8]

بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه:

a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d

ونصف محيطه

s\displaystyle s

حيث

S=a+b+c+d2\displaystyle S=\frac a+b+c+d2

بالصيغة الآتية:[ِ 8][79]

A=(sa)(sb)(sc)(sd)\displaystyle A=\sqrt (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:[79][ِ 8]

R=14(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)(sa)(sb)(sc)(sd)\displaystyle R=\frac 14\sqrt \frac (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

مُضلَّعاتٌ مماسيَّة[عدل]

المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral)‏ على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral)‏ هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.[78][80][ِ 8]

يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو

n\displaystyle n

رأس هي

a1,a2,...,an\displaystyle a_1,a_2,…,a_n

ومساحته

K\displaystyle K

ونصف محيطه

s\displaystyle s

فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:[81]

r=Ks=2Ki=1nai\displaystyle r=\frac Ks=\frac 2K\sum _i=1^na_i

مبرهنات[عدل]

بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوةانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً وقوة النقطةانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرةانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

مبرهنة بطليموس[عدل]

مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي:

AC¯BD¯=AB¯CD¯+BC¯AD¯\displaystyle \overline AC\cdot \overline BD=\overline AB\cdot \overline CD+\overline BC\cdot \overline AD

. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.[82][83][ِ 8]

خط أويلر[عدل]

خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات

H\displaystyle H

، ملتقى المتوسطات

G\displaystyle G

، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع

O,N\displaystyle O,N

. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.[84]

خط سيمسون[عدل]

خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line)‏ هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان

ABC\displaystyle \triangle ABC

مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ

Ω\displaystyle \Omega

والنّقطةُ

P\displaystyle P

واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث

CA,AB,BC\displaystyle CA,AB,BC

هي

L,M,N\displaystyle L,M,N

على الترتيب، فإنّ النقاط

L,M,N\displaystyle L,M,N

هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.[85][86][87]

مبرهنة باسكال[عدل]

في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal’s theorem)‏ على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.[88]

الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي

ABCDEF\displaystyle ABCDEF

تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:[89][ملاحظة 29]

H=AFDC,G=ABDE,K=AFBC\displaystyle H=AF\cap DC,G=AB\cap DE,K=AF\cap BC

.

كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:[89]

GB¯GA¯×HA¯HF¯×KF¯KE¯×GE¯GD¯×HD¯HC¯×KC¯KB¯=1.\displaystyle \frac \overline GB\overline GA\times \frac \overline HA\overline HF\times \frac \overline KF\overline KE\times \frac \overline GE\overline GD\times \frac \overline HD\overline HC\times \frac \overline KC\overline KB=1.

مبرهنة مونج[عدل]

تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge’s theorem)‏، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائرانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً لها متسامتة.[90] بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.[90]

مبرهنة فويرباخ[عدل]

تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach’s theorem)‏ على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م،[91] وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.[92][93]

مبرهنة ميكيل[عدل]

مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel’s theorem)‏ هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما.[94] ورياضياً: إذا كان

ABC\displaystyle \triangle ABC

مثلثاً واختيرت النقاط

A,B,C\displaystyle A’,B’,C’

على أضلاعه

CA,AB,BC\displaystyle CA,AB,BC

فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات

ABC,ABC,ABC\displaystyle \triangle AB’C’,\triangle A’BC’,\triangle A’B’C

تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة

M\displaystyle M

تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.[95][96]

2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 88 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 89 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 90
خط سيمسون

LN\displaystyle LN

(بالأحمر) للنقطة

P\displaystyle P

بالنسبة للمثلث

ABC\displaystyle \triangle ABC

يمُرُّ على النقاط

L,M,N\displaystyle L,M,N

.

مبرهنة ميكيل: الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ

ABC\displaystyle \triangle ABC

ونقاطٍ مشتركةٍ على أضلاعه

A,B,C\displaystyle A’,B’,C’

، تُسمّى دوائرَ ميكيل وهي متلاقية في نقطةٍ ما

M\displaystyle M

.

تنص مبرهنة دوائر ميكيل الست على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ.
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 91 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 92 2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 93
مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام: الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة. مبرهنة ميكيل على الخماسي. مبرهنةٌ الفراشة: النقطة

M\displaystyle M

هي منتصف

X,Y\displaystyle X,Y

حيث أنَّ الوترين

AB,CD\displaystyle AB,CD

يمرّان بمنتصف

PQ\displaystyle PQ

.

مبرهنة كايزي[عدل]

مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey’s theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس انتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي.[97] تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن

O\displaystyle \,O

دائرةً شعاعها

R\displaystyle \,R

. ولتكن

O1,O2,O3,O4\displaystyle \,O_1,O_2,O_3,O_4

أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل

O\displaystyle \,O

وتمسها على الترتيب. وليرمز

tij\displaystyle \,t_ij

إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين

Oi,Oj\displaystyle \,O_i,O_j

، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:[98]

t12t34+t14t23=t13t24.\displaystyle \,t_12\cdot t_34+t_14\cdot t_23=t_13\cdot t_24.

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.[97]

مبرهنة الفراشة[عدل]

تنصُ مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة

M\displaystyle M

هي منتصف الوتر

PQ\displaystyle PQ

في دائرة، وُرسم وتران آخران

AB,CD\displaystyle AB,CD

يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان

AD,BC\displaystyle AD,BC

يقطعان الوتر

PQ\displaystyle PQ

في نقطتين متماثلتين

X,Y\displaystyle X,Y

حول

M\displaystyle M

، أي أنَّ النقطة

M\displaystyle M

هي منتصف القطعة المستقيمة

XY\displaystyle XY

.[99][100]

التحويلات الهندسية[عدل]

هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:

التحاكي[عدل]

مركز التشابه الخارجي لدائرتين مركز التشابه الداخلي لدائرتين
مماس خارجي.svg InternalTangAR.svg

التحاكي (بالإنجليزية: Homothety)‏ هو تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن

C1=(x1,y1),C2=(x2,y2)\displaystyle C_1=(x_1,y_1),C_2=(x_2,y_2)

مركَزَيْ الدائرتين و

r1,r2\displaystyle r_1,r_2

هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي

(x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)

يُحسَب عبر الصيغة:[101][102]

(x0,y0)=r2r1+r2(x1,y1)+r1r1+r2(x2,y2).\displaystyle (x_0,y_0)=\frac r_2r_1+r_2(x_1,y_1)+\frac r_1r_1+r_2(x_2,y_2).

بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي

(xe,ye)\displaystyle (x_e,y_e)

بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.[101]

(xe,ye)=r2r1r2(x1,y1)+r1r1r2(x2,y2).\displaystyle (x_e,y_e)=\frac -r_2r_1-r_2(x_1,y_1)+\frac r_1r_1-r_2(x_2,y_2).

كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي.[101] تربط مبرهنة مونجانتقل لقراءةِ القسمِ مُفصّلاً بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها

1\displaystyle 1

[ملاحظة 30]، فإنّ هذه المراكز متسامتة.

التعاكس[عدل]

التعاكس (بالإنجليزية: Inversion)‏ هو تحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة

P\displaystyle P

المُختلفة عن المركز حول الدائرة

C(O,r)\displaystyle C(O,r)

على أنه نُقطةٌ

P\displaystyle P’

تقع على الشّعاع

OP\displaystyle \overrightarrow OP

تُحقّق العلاقة:

OPOP=r2\displaystyle OP\cdot OP’=r^2

. هُناك اختلاف حول صورة المركز

O\displaystyle O

، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة

O\displaystyle O

هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه نقطة في اللانهاية. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ

P\displaystyle P

إلى صورتها

P\displaystyle P’

أيضاً ينقل الصورة

P\displaystyle P’

إلى الأصل

P\displaystyle P

؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس دالةً ارتداديَّة، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.[55][103][104]

  • انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.

    انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.

  • انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.

    انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.

  • التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.

    التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.

ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.[55][103]

الهندسة التحليلية[عدل]

دائرة الوحدة والدوال المثلثية[عدل]

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة.[ملاحظة 31] دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و

π2\textstyle \frac \pi 2

راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.[105][106]

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب المثلثات
Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1-ar.svg
مفاهيم رئيسة
  • التاريخ
  • الاستعمالات
  • الدّوال
    • الدوال العكسية
  • حساب مثلثات معممة
  • حساب المثلثات الكروية
أدوات مرجعية
  • المتطابقات
  • القيم الدقيقة للثوابت
  • الجداول
  • دائرة الوحدة
قواعد وقوانين
  • الجيوب
  • جيوب التمام
  • الظّلال
  • ظلال التمام
  • مبرهنة فيثاغورس
تفاضل وتكامل
  • تعويضات مثلثية
  • التكاملات
    • تكاملات الدوال العكسية
  • المشتقات
شعار بوابة بوابة رياضيات
  • ع
  • ن
  • ت

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ

θ\displaystyle \theta

[ملاحظة 32] دائرةَ الوحدةِ في النقطة

A=(x,y)\displaystyle A=(x,y)

فإنّ الدالةُ

cosθ\displaystyle \cos \theta

تُعرّف على أنها الإحداثي

x\displaystyle x

والدالة

sinθ\displaystyle \sin \theta

هي الإحداثي

y\displaystyle y

لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ:

(x,y)=(cosθ,sinθ)\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )

. وبرسم مماس من النقطة

(x,y)\displaystyle (x,y)

يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين

E=(a,0),F=(0,b)\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)

على الترتيب، فإنَّ

a=secθ,b=cscθ\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta

.

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة

(0,π2)\displaystyle (0,\frac \pi 2)

باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة

OA=r\displaystyle OA=r

هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة

P=(x0,y0)\displaystyle P=(x_0,y_0)

على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ

x2+y2=1\displaystyle x^2+y^2=1

من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم

OCA\displaystyle \triangle OCA

. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات

x,y\displaystyle x,y

يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس:

cos2θ+sin2θ=1\displaystyle \cos ^2\theta +\sin ^2\theta =1

.[107][108] وأخيراً فإنَّ المسافات

AF,AE\displaystyle AF,AE

تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية:

cotθ,tanθ\displaystyle \cot \theta ,\tan \theta

على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة

OAF,OAE,OEF\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF

للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:[109]

tanθ=sinθcosθ,cotθ=cosθsinθ,secθ=1cosθ,cscθ=1sinθ.\displaystyle \tan \theta =\frac \sin \theta \cos \theta ,\quad \cot \theta =\frac \cos \theta \sin \theta ,\quad \sec \theta =\frac 1\cos \theta ,\quad \csc \theta =\frac 1\sin \theta .

بما أنَّ دوراناً بزاوية

±2π\displaystyle \pm 2\pi

لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط

F,A,E\displaystyle F,A,E

ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ

2π\displaystyle 2\pi

. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ

sinθ=sin(θ+2kπ)\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)

و

cosθ=cos(θ+2kπ)\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)

صالحةٌ لأي زاوية

θ\displaystyle \theta

ولأي عدد صحيح

k\displaystyle k

. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

الإحداثيات الديكارتية[عدل]

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة

(a,b)\displaystyle (a,b)

مركزاً لدائرةٍ

C(a,b)\displaystyle C(a,b)

نصف قطرها

r\displaystyle r

، والنُّقطةُ

(x,y)\displaystyle (x,y)

مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين

C,P\displaystyle C,P

هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى

r\displaystyle r

، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:[ِ 1]

(xa)2+(yb)2=r2\displaystyle \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2

تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر

r\displaystyle r

. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان

xa\displaystyle x-a

و

yb\displaystyle y-b

طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.

كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل

(0,0)\displaystyle (0,0)

تُصبح المُعادلة بتعويض قيم

a,b\displaystyle a,b

: كالآتي[ِ 1]

x2+y2=r2 \displaystyle x^2+y^2=r^2\!\

وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية[ملاحظة 33] (بالإنجليزية: Parametric equation)‏ باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي:

x=a+rcost,\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,

y=b+rsint\displaystyle y=b+r\,\sin t\,

حيث أن

t\displaystyle t

هو وَسِيطٌ (بالإنجليزية: Parameter)‏ تتغيرُ قيمتُه بين العددين

0\displaystyle 0

و

2π\displaystyle 2\pi

. هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين

(a,b)\displaystyle (a,b)

و

(x,y)\displaystyle (x,y)

مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:

x=a+r1t21+t2\displaystyle x=a+r\cdot \frac 1-t^21+t^2\,

y=b+r2t1+t2\displaystyle y=b+r\cdot \frac 2t1+t^2

إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة:

(xa)2+(yr)2=r2\displaystyle \left(x-a\right)^2+\left(y-r\right)^2=r^2

. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة:

(xr)2+(yb)2=r2\displaystyle \left(x-r\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2

.[ِ 1]

كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان

AB\displaystyle AB

قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين

A,B\displaystyle A,B

هي

A(x1,y1),B(x2,y2)\displaystyle A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)

بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة

P(x,y)\displaystyle P(x,y)

على مُحيط الدائرة وبما أن

AB\displaystyle AB

قُطر في الدائرة، فإن

mAPB^=12180=90\displaystyle m\widehat \displaystyle APB=\frac 12\cdot 180=90

وعليه فإن

APPB\displaystyle AP\perp PB

، ليكن ميل المستقيمين

m1,m2\displaystyle m_1,m_2

هما على الترتيب، حيث:[ِ 1]

m1=yy1xx1,m2=yy2xx2\displaystyle m_1=\frac y-y_1x-x_1,m_2=\frac y-y_2x-x_2

ولِكَوْن

APPB\displaystyle AP\perp PB

فإن

m1m2=1\displaystyle m_1m_2=-1

وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:[ِ 1]

(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0\displaystyle (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0

إذا كانت

P=(x1,y1)\displaystyle P=(x_1,y_1)

نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها

r\displaystyle r

على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:

(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2. \displaystyle (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2.\!\

صيغة الثلاث نقاط[عدل]

بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ:

(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)\displaystyle (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)

عبر المعادلة الآتية:

(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)(yy1)(xx2)(yy2)(xx1)=(x3x1)(x3x2)+(y3y1)(y3y2)(y3y1)(x3x2)(y3y2)(x3x1){\displaystyle \frac (\color greenx-x_1)(\color greenx-x_2)+(\color redy-y_1)(\color redy-y_2)(\color redy-y_1)(\color greenx-x_2)-(\color redy-y_2)(\color greenx-x_1)=\frac (x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2)(y_3-y_1)(x_3-x_2)-(y_3-y_2)(x_3-x_1)}

يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً:[31]

[x2+y2xy1x12+y12x1y11x22+y22x2y21x32+y32x3y31]=0\displaystyle \beginbmatrixx^2+y^2&x&y&1\\x_1^2+y_1^2&x_1&y_1&1\\x_2^2+y_2^2&x_2&y_2&1\\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3&1\endbmatrix=0

وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:[31]

ax2+cy2+dx+ey+f=0\displaystyle ax^2+cy^2+dx+ey+f=0

حيثُ أنَّ

c=a\displaystyle c=a

وَ:

a=[x1y11x2y21x3y31]d=[x12+y12y11x22+y22y21x32+y32y31]e=[x12+y12x11x22+y22x21x32+y32x31]f=[x12+y12x1y1x22+y22x2y2x32+y32x3y3]\displaystyle \beginaligneda=\beginbmatrixx_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\endbmatrix\\d=-\beginbmatrixx_1^2+y_1^2&y_1&1\\x_2^2+y_2^2&y_2&1\\x_3^2+y_3^2&y_3&1\endbmatrix\\e=\beginbmatrixx_1^2+y_1^2&x_1&1\\x_2^2+y_2^2&x_2&1\\x_3^2+y_3^2&x_3&1\endbmatrix\\f=-\beginbmatrixx_1^2+y_1^2&x_1&y_1\\x_2^2+y_2^2&x_2&y_2\\x_3^2+y_3^2&x_3&y_3\endbmatrix\endaligned

وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة:

(x0,y0)=(d2a,e2a)\displaystyle (x_0,y_0)=(-\tfrac d2a,-\tfrac e2a)

ونصف قطرها:[31]

r=d2+e24a2fa{\displaystyle r={\sqrt \frac d^2+e^24a^2-\frac fa}}

الإحداثيات القطبية[عدل]

في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها

r\displaystyle r

ومركزها عن النقطة

R(a1,θ1)\displaystyle R(a_1,\theta _1)

يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث

ORP\displaystyle \triangle ORP

، حيث أنَّ النقطةَ

P(a,θ)\displaystyle P(a,\theta )

تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:[ِ 1]

a2+a122aa1cos(θθ1)=r2\displaystyle a^2+a_1^2-2aa_1\cos(\theta -\theta _1)=r^2

حيث أنّ

(r,θ)\displaystyle (r,\theta )

هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و

(r0,ϕ)\displaystyle (r_0,\phi )

هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة

(r,00)\displaystyle (r,0^0)

فإن

θ1=00\displaystyle \theta _1=0^0

وَ

a1=r\displaystyle a_1=r

وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة:

a=2rcosθ\displaystyle a=2r\cos \theta

.[ِ 1] وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة

(r,π2)\displaystyle (r,\frac \pi 2)

تأخذ المعادلة الصورة:

a=2rsinθ\displaystyle a=2r\sin \theta

.[ِ 1]

المستوى العَقَدي[عدل]

في المستوى العقدي، الدائرة ذات المركز

c\displaystyle c

ونصف قطر

r\displaystyle r

تُمَثَّلُ بالمعادلةِ

|zc|2=r2\displaystyle

. وقد تُكتب أيضاً على الصورة الوسيطية الآتية:

z=reit+c\displaystyle z=re^it+c

. تُستخدم جذور الوحدة أو أعداد دي موافر أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات الأعداد المركبة لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو عدد عقدي يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة

n\displaystyle n

ينتج واحداً.[110][111][112] تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد وحروف الزمر ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع.

التفاضل والتكامل[عدل]

في الدائرة ذات القطر

d\displaystyle d

والشعاع

r\displaystyle r

، يكون مُحيطها

C\displaystyle C

:[31]

C=πd=2πr\displaystyle C=\pi d=2\pi r

بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة باستعمال صيغة طول القوس بالإحداثيات القطبية في التفاضل والتكامل:[31]

C=02πr2+(drdθ)2dθ=02πrdθ=2πr{\displaystyle C=\int _0^2\pi \sqrt r^2+\left(\frac drd\theta \right)^2d\theta =\int _0^2\pi rd\theta =2\pi r}

استعمل أرخميدس طريقةَ استنفادٍ لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرةَ إلى أربعةِ قطاعاتٍ مُتساوية، ثمَّ أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعاتٍ مُتساويةٍ مُجدداً، واستمرَّ في ذلك إلى أن وصل إلى شكلٍ مُشابهٍ لمتوازي الأضلاع:[31]

طريقة الاستنفاد التي استعملها أرخميدس لتقدير مساحة الدائرة
خطوة1 خطوة2 خطوة3
دایره بر چهار قطاع تقسیم شده.jpg دایره بر چهار قطاع تقسیم شده مرحله 2.jpg دایره بر هشت قطاع تقسیم شده .jpg
النتيجة النهائية (قبل وبعد)
CircleArea.svg

بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض أن الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. وعلى ذلكَ فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساويةً لمساحةِ مُتوازي الأضلاع، والتي يُمكنُ حسابها بقانون المساحة الخاص بمتوازي الأضلاع: وهو جداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المُحيط (

2πr\displaystyle 2\pi r

) بينما ارتفاعه هو

r\displaystyle r

. وعلى ذلك تُصبح المساحة الكلية

A=πr2\displaystyle A=\pi r^2

. حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثرَ رسميةٍ في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:[31]

A=02πdθ0rrdr=(2π)(12r2)=πr2\displaystyle A=\int _0^2\pi d\theta \int _0^rrdr=(2\pi )\left(\frac 12r^2\right)=\pi r^2

في الأبعاد الأخرى[عدل]

الكرة[عدل]

الكرة أو الفلكة هي سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها.[113][114][115] تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.

إذا قطع المستوى

ax+by+cz+d=0\displaystyle ax+by+cz+d=0

الكرةَ

x+y+z2hx2ky2mz+e=0\displaystyle x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0

، فانَّ المقطع الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المقطع. تكون دائرة المقطع أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المقطع دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.[ِ 5]

الأُسطوانة[عدل]

هي مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه أيضاً على أنه مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاة.[116][117][118]

الكرة الفائقة[عدل]

في الهندسة الرياضية متعددة الأبعاد، الهايبرسفير أو الكرة الفائقة (بالإنجليزية: Hypersphere)‏ هي مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى المركز. تُعد الهايبرسفير متعددة الشعب. ومع زيادة نصف قطرها، يزداد انحناؤها. المستويات الفائقة والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.[119]

إنشاءات المسطرة والفرجار[عدل]

الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أو أقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هو أداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من بلاستيك أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أو حِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أو الإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.[120]

الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».[10][11]تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.[12]

القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:

  • إنشاء عمود منصف لقطعةٍ مُستقيمةٍ: بافتراض أنَّ
    AB¯\displaystyle \overline AB

    قطعة مستقيمة، ارسم الدائرتين

    C(A,AB¯),C(B,AB¯)\displaystyle C(A,\overline AB),C(B,\overline AB)

    وافترض أنهما يتقاطعان في

    X,Y\displaystyle X,Y

    . إنَّ

    XY\displaystyle XY

    هُو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة

    AB¯\displaystyle \overline AB

    .[ِ 5]

  • إنشاء مُنصِّف لزاوية: يُنشئ منصف الزاوية
    ABC\displaystyle \angle ABC

    كالآتي:[ِ 5]

  1. أنشئ الدائرة
    C(B,r)\displaystyle C(B,r)

    وافترض أنها تقطع شعاعا الزاوية

    BA,BC\displaystyle \overrightarrow BA,\overrightarrow BC

    في

    A,C\displaystyle A’,C’

    على الترتيب.

  2. ارسم الدائرتين
    C(A,r),C(C,r)\displaystyle C(A’,r),C(C’,r)

    بأيِّ نصفِ قُطرٍ

    r\displaystyle r

    ، وافترض أن إحدى نقطتي تقاطعهما هي

    T\displaystyle T

    .

  3. إن منصفَ الزاويةِ
    ABC\displaystyle \angle ABC

    هو

    BT\displaystyle BT

    .

  4. لإنشاء المنصف الخارجي للزاوية، طبق الخطوات السابقة لكن مع أخذ الشعاعين:
    AB,CB\displaystyle \overrightarrow AB,\overrightarrow CB

    .

إنشاء عمود منصف إنشاء منصف زاوية إنشاء سداسي منتظم إنشاء مربع
Perpendicular Bisector.gif
رسم توضيحي لإنشاء منصف الزاوية.
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 94
2023 كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم 95
  • إنشاء مركز مُحيطة المثلث: لتكن
    A\displaystyle A

    ،

    B\displaystyle B

    ،

    C\displaystyle C

    ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين

    AB\displaystyle AB

    وَ

    BC\displaystyle BC

    غير متوازيين لانعدام تَسامُتِ النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي

    O\displaystyle O

    ، وبما أن

    OA=OB=OC\displaystyle OA=OB=OC

    فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها

    O\displaystyle O

    . بالإمكان تعميم هذه الطريقة لأي مُضلّع دائري، وذلك بأخذ ضلعين منه وإنشاء العمودين المنصفين له.[ِ 2][ِ 5]

  • إنشاء مماس من نقطة خارج الدائرة: إذا كانت
    C(O,r)\displaystyle C(O,r)

    دائرةً، و

    P\displaystyle P

    نُقطةً خارجَها، فإنّ إنشاء مماس من النقطة

    P\displaystyle P

    إلى الدائرة يكون كالآتي:[ِ 5]

  1. صِلْ
    OP\displaystyle OP

    ولتكن

    M\displaystyle M

    نقطة تقاطعه مع الدائرة.

  2. خُذ نقطة منتصف
    OM\displaystyle OM

    ولتكن

    N\displaystyle N

    .

  3. ارسم الدائرة
    Ω\displaystyle \Omega

    التي قطرها

    OM¯\displaystyle \overline OM

    أو بترميز الدائرة:

    C(N,|OM¯|2){\displaystyle C(N,\frac 2)}

    .

  4. تقاطع الدائرة
    Ω\displaystyle \Omega

    مع الدائرة الأصلية

    C(O,r)\displaystyle C(O,r)

    هما نقطتا تماس النقطة

    P\displaystyle P

    مع الدائرة

    C(O,r)\displaystyle C(O,r)

    .

  • إنشاء المماس المشترك الداخلي لدائرتين: لتكن
    A,B\displaystyle A,B

    دائرتين معلومتين مركزاهما

    O1,O2\displaystyle O_1,O_2

    على الترتيب. إنشاء المماس المشترك لهما من الداخل، يكون كالآتي:[ِ 5]

  1. صِل
    O1O2\displaystyle O_1O_2

    وارسم الدائرة ذات القطر

    O1O2\displaystyle O_1O_2

    ولتكن

    Γ\displaystyle \Gamma

    .

  2. ارسم الدائرتين
    C(O1,O1O2¯),C(O2,O1O2¯)\displaystyle C(O_1,\overline O_1O_2),C(O_2,\overline O_1O_2)

    وافرض أن نقطة تقاطعهما مع أحد نصفي الدائرة

    Γ\displaystyle \Gamma

    هما

    C,D\displaystyle C,D

    على الترتيب.

  3. صل
    O1C,O2D\displaystyle O_1C,O_2D

    وليقطعا الدائرتين

    A,B\displaystyle A,B

    في

    E,F\displaystyle E,F

    على الترتيب.

  4. كرِّر العملية مع نصف الدائرة
    Γ\displaystyle \Gamma

    الآخر ولتكن نقاط التقاطع هي

    E,F\displaystyle E’,F’

    .

  5. المستقيمان
    EE,FF\displaystyle EE’,FF’

    هما مماسان مشتركان داخليان للدائرتين الأصليتين

    A,B\displaystyle A,B

    .

إنشاءات مستحيلة[عدل]

تربيع الدائرة[عدل]

تربيع دائرة هي معضلةٌ وضعَها علماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة. في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-فايرشتراس التي تُبرهن على أن

π\displaystyle \pi

عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير كسري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).[121]

مضاعفة المكعب[عدل]

عُرفت مسألة مضاعفة المكعب في العديد من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود.[122][123] تتمثل المسألة في تحويل أي مُكعّبٍ مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع

s\displaystyle s

والحجم

V\displaystyle V

، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم

2V\displaystyle 2V

. أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد

s23\displaystyle s\cdot \sqrt[3]2

. أثبت استحالة عمل ذلك بإنشاءات الفرجار والمسطرة بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله

23\displaystyle \sqrt[3]2

بالمسطرة والفرجار.[124][125]

تثليث الزاوية[عدل]

مسألة تثليث الزاوية تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم 3 مستقيمات تقسم الزاوية إلى 3 زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.[126][127][128]

التاريخ[عدل]

عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة – جوهريّاً – تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».[129][130] تُلخًّصُ النقاطُ الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:

  • في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π وهي 256 / 81 (أي 3.16049…).[131]
  • في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائرَ.
  • في الرسالة السابعة لأفلاطون، وُجِدَ تعريفٌ وشرحٌ للدائرةِ.
  • في عام 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان أن
    π\displaystyle \pi

    عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.[132]

المصريون القدماء[عدل]

إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق.[133] ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:

A(89d)2=25681r2=3,16049r2\displaystyle A\approx \left(\frac 89d\right)^2=\frac 25681r^2=3,16049\dotso \cdot r^2

نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.[133]

البابليون[عدل]

استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة.[ملاحظة 34] بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:[133]

A112U2912d2=3r2,\displaystyle A\approx \frac 112U^2\approx \frac 912d^2=3r^2,

بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي «المجسطي».[133]

الإغريق[عدل]

يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.

طالس[عدل]

يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص المبرهنة المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.[133]

أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:[134]

«الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.» – أفلاطون، بارمنيدس

إقليدس[عدل]

لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:[56][133]

«الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً.» – إقليدس، كتاب العناصر

كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

أرخميدس[عدل]

أثبت أرخميدس في دراساته «كرسيمس» أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.[135] وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة

π\displaystyle \pi

برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر:

31071<π<317\displaystyle 3\tfrac 1071<\pi <3\tfrac 17

. ومن المتباينة

π<317\displaystyle \pi <3\tfrac 17

يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن

π227=3.1428…\displaystyle \pi \thickapprox \tfrac 227=3.1428…

. ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى

1114\displaystyle \tfrac 1114

. وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.[ِ 4][134] وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

في عمل آخر لأرخميدس «على اللوالب»[135] وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.[136]

أبولونيوس[عدل]

فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «كونيكي» أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.[133]

قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.[133]

العصور الوسطى[عدل]

أثناء حكم المأمون في خراسان (القرن الثالث للهجرة)، ترجم بنو موسى كتاب المخاريط لأبولونيوس من اليونانية إلى العربية. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الكتب، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد واجهوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في المشرق نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول 4 فصول من كتاب المخاريط إلى هلال حمصي، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى ثابت بن قرة. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.[137]

قدّم بنو موسى حلاً باستخدام القطوع المخروطية لمسألة تثليث الزاوية. كما قدّم أبو جعفر الخازن وأبو سهل القوهي والسجزي وأبو الريحان البيروني ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين على أنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من عضد الدولة بن بويه، كتب عبد الرحمن بن عمر الصوفي كتاباً بعنوان:[138] «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أو اختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» بحث أبو الوفاء البوزجاني، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ غياثُ الدين الكاشي نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو

π\displaystyle \pi

بدقةٍ عالية، وذلك باستعمال حصر مضلعات داخل الدائرة وخارجها. كما كتب في كتابه: «مفتاح الحساب»، رسالةً بعنوان: «رسالة الوتر والجيب»، التي فُقدِت. كما قدّم محاولةً لحل مسألة تثليث الزاوية عن طريق حل المعادلات التكعيبية.[139][140]

في الثقافة والفن[عدل]

أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء العديد من التكوینات الفنیة وارتبطت بالعديد من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة الفنان لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء بالديموقراطية، ولهذا يُوجد في مجالس الشورى والبرلمانات. بينما ترى بعض المعتقدات الروحانية على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة واللانهائیة والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تقاليدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية والأرواح الملائكية وترمز إلى العديد من المفاهيم المُقدّسة، منها الاتحاد، الاكتمال والكون، الألوهية والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أو الموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما أن هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار اليين واليانغ، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتقالها بين الثقافات، فوُجدت على سبيل المثال في البوصلة، الهالة، الترميز للعين والبصيرة، وقوس القزح والدارما، ونوافذ بعض المعابد والمباني الدينية، والأوربوروس.[9][ِ 9]

في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أو القمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلو الرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي معظم الأحيان للدلالة على المكانة العلمية للشخص المرسوم، أو للإشارة إلى عمله كبحار أو كجغرافي. في عام 1913م، رسم فاسيلي كاندينسكي لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان فيكتور فازاريلي الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس كلما اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يبدو كرة أو نصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هو الحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هو الحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا أيضاً، أو كالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.[ِ 6]

حين يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أو الوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ أن الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد أن هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته كاميلوت. إلا أن وينستون تشيرشل حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلس يكون رأس الطاولة».[ِ 6]

في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني جون وليس رمزاً للإشارة إلى اللانهائية، وهو عبارة عن دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقم 8 المقلوب. ومن رمزيته العلمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم أيضاً شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي على سبيل المثال ترمز إلى ديمومة العلاقات.[ِ 6]

استخدمت الدائرة في خلق التجانس الزخرفي مع الخط العربي بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال.[ِ 9][ِ 5] تُرسم النجوم في الزخارف العربية مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر أبو حیان التوحیدي: «وأما الصورة الفلكیة فداخلة تحت الرسم بالعرض، وللوهم فیها أثر كبیر، ولأنها مأخودة من الجسم الأعظم صارت مشاكهتها مقسومة بین البسیط الذي لا تركیب فیه البتة، وبین المركب الذي لا یخلو من التركیب البتة.». وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون أن في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.[ِ 9]

التطبيقات والاستعمالات[عدل]

الدولاب هو قرص مستدير يُصنع من مادة صلبة ويُستعمل بشكل شائع في العربات للتنقل. ويُصنّف باحثون على أنَّ اختراع الدولاب من أهم ما اخترع البشر، إذ أنه أدى إلى تطوّرهم العلمي والتكنولوجي. وُجد أقدم دولاب بين الآثار الباقية من التاريخ، بعمر يصل إلى 3,000 سنة. كما احتوت النقوش السومرية والفرعونيّة رسوماً لعربات بدواليب، عمرها 5000 سنة. ويُرجح أن الحيّاكين والنسّاجين والخزّافين وصانعي الفخّار والآجرّ، كانوا من أوائل من استعمل الدولاب في مهنتهم.[ِ 6]

إن الأوعية الفخّاريّة التي كان الخزّافون يصنعونها، كانت ضرورية لخزن الماء والمشروبات وحتى الحبوب وغيرها من الأغذية، في المستقرّات الزراعية التي نشأت من حولها القرى والمدن الأولى. وكانت تعتمد آنية الفخّار على أساسٍ طيني على شكل قرص، والذي يديره الخزّاف لصنع آنيته. ومن هذه الدواليب الأولى، طوّر البشر شيئاً فشيئاً صناعة الدولاب، إلى أطر العجلات والعربات ثم المركبات فالسيارات. كما أن الدائرة كانت الأساس للمحرك الكهربائي والمراوح وبقية المحركات الأخرى.[ِ 6]

معرض صور[عدل]

براهين وعلاقات[عدل]

  • مساحة الدائرة تساوي: '"`UNIQ--postMath-00000233-QINU`"' × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من '"`UNIQ--postMath-00000234-QINU`"'.

    مساحة الدائرة تساوي:

    π\displaystyle \pi

    × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من

    4r2\displaystyle 4r^2

    .

  • رسم توضيحي لمثلث في المستوى '"`UNIQ--postMath-00000235-QINU`"'، مع أبرز دوائره الخاصة. تُشير النقاط إلى مراكز المثلث الرئيسة، ويُسمَّى الخطُ الواصل بينهم بخط أويلر. النقطة '"`UNIQ--postMath-00000236-QINU`"' هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. النقطة '"`UNIQ--postMath-00000237-QINU`"' هي مركز دائرة النقاط التسع. النقطة '"`UNIQ--postMath-00000238-QINU`"' هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. النقطة '"`UNIQ--postMath-00000239-QINU`"' هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

    رسم توضيحي لمثلث في المستوى

    ABC\displaystyle \triangle ABC

    ، مع أبرز دوائره الخاصة. تُشير النقاط إلى مراكز المثلث الرئيسة، ويُسمَّى الخطُ الواصل بينهم بخط أويلر. النقطة

    H\displaystyle H

    هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. النقطة

    N\displaystyle N

    هي مركز دائرة النقاط التسع. النقطة

    G\displaystyle G

    هي نقطة تقاطع متوسطات المثلث. النقطة

    O\displaystyle O

    هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.

  • هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.

    هلِالا الحسنِ ابنِ الهيثم: مجموع مساحة الهلالين (بالأزرق) مُساوٍ لمساحة المثلث الأخضر.

  • حالات أزواج الدوائر المُختلفة.

    حالات أزواج الدوائر المُختلفة.

  • القيم الشهيرة المُرتبطة بدائرة الوحدة.

    القيم الشهيرة المُرتبطة بدائرة الوحدة.

  • إنشاء خماسي منتظم باستعمال الفرجار والمسطرة.

    إنشاء خماسي منتظم باستعمال الفرجار والمسطرة.

  • الزوايا التي يصنعها مماس الدائرة المحيطة لمثلثٍ عند رأسه

    الزوايا التي يصنعها مماس الدائرة المحيطة لمثلثٍ عند رأسه

  • مُقاربة لتسمية بعض المصطلحات المتعلقة بالدائرة بأسمائها؛ كالقوسِ والوَتر وعمق القوس، ونقطة المنتصف.

    مُقاربة لتسمية بعض المصطلحات المتعلقة بالدائرة بأسمائها؛ كالقوسِ والوَتر وعمق القوس، ونقطة المنتصف.

  • حالات الزوايا بالنسبة لدائرة.

    حالات الزوايا بالنسبة لدائرة.

  • الزوايا المماسية والمركزية والخارجة عن رباعي دائري.

    الزوايا المماسية والمركزية والخارجة عن رباعي دائري.

  • مقاطع دائرية لمخروط اهليجي

    الشكل الحقيقي لزوج من المقاطع الدائرية لمخروط إهليجي في الإسقاطات العمودية

الترميز الموحد[عدل]

العلامة تمثيل اليونيكود البرمجي:(Hex) بالإنجليزية
U+25CB WHITE CIRCLE
U+25CF BLACK CIRCLE
U+25EF LARGE CIRCLE
U25CC.gif &#9676; DOTTED CIRCLE
U25CD.gif &#9677; CIRCLE WITH VERTICAL FILL
U25CE.gif &#9678; BULLSEYE
U25C9.gif &#9673; FISHEYE

في الأعلام والرموز[عدل]

  • علم كوريا الجنوبية.

    علم كوريا الجنوبية.

  • علم اليابان.

    علم اليابان.

  • علم الهند.

    علم الهند.

  • علم البرازيل.

    علم البرازيل.

  • شعار الألعاب الأولمبية.

    شعار الألعاب الأولمبية.

  • شعار ماستركارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح.

    شعار ماستركارد إحدى الشعارات التي يظهر فيه استخدام الدَّائرة بوضوح.

  • شعار تويتر مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.

    شعار تويتر مُنشأ بالكامل من مناطق محصورة بين دوائر.

في اللغات والثقافة[عدل]

  • رسم مأخوذ من مخطوطة آيسلنديَّة تعود إلى حوالي عام 1750م، ويوضح نموذج مركزية الأرض.

    رسم مأخوذ من مخطوطة آيسلنديَّة تعود إلى حوالي عام 1750م، ويوضح نموذج مركزية الأرض.

  • تُرسم دائرة صغيرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن سكون الحرف.

    تُرسم دائرة صغيرة فوق الحُروفِ العربيَّة للتعبير عن سكون الحرف.

  • تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أو تغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 )

    تستعملُ اللغةُ اليابانيَّةُ الدَّائرة لتفخيم أو تغيير نطق بعض المقاطع الصّوتية برسمها فوقها. كما أنها تستعمل الدَّائرة كنقطة نهاية السَّطر (。 )

  • تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة.

    تُستعمل الدَّائرة فوق الحروف اللاتينية لبعض اللغات الأوروبيَّة مثل النّرويجية، السُّويديَّة والفنلنديَّة.

  • الصِّفر 0 وحرف الـO من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة جداً بالدائرة.

    الصِّفر 0 وحرف الـO من حروف الأبجدية اللاتينية من الحروف المُتناظرة والشبيهة جداً بالدائرة.

  • تتميز اللغة الكورية عن غيرها من بقية اللغات الشرق آسيوية بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر.

    تتميز اللغة الكورية عن غيرها من بقية اللغات الشرق آسيوية بأن حروف أبجديتها تحوي أشكال بيضاوية ودوائر.

  • الماروجيروشي (باليابانية: 丸印) أو الغونجبو (بالكورية: 공표, 空標)، هي اسم للرمز "◯" المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في شرق آسيا، وهي مشابهة في استخدام علامة الصح. عكسها هو علامة الشطب ("✗") أو ("×").

    الماروجيروشي (باليابانية: 丸印) أو الغونجبو (بالكورية: 공표, 空標)، هي اسم للرمز “◯” المستعمل للدلالة على الإيجاب والموافقة في شرق آسيا، وهي مشابهة في استخدام علامة الصح. عكسها هو علامة الشطب (“✗”) أو (“×”).

  • لعبة إكس-أوه من الألعاب التي تتضمن شكل الدائرة.

    لعبة إكس-أوه من الألعاب التي تتضمن شكل الدائرة.

  • علامة اليين واليانغ ترمز لكيفية عمل الأشياء في العلم الصيني القديم.

    علامة اليين واليانغ ترمز لكيفية عمل الأشياء في العلم الصيني القديم.

في التقنية والعلوم[عدل]

  • تّقنيَّاً، الشّكل الدائري للعجلة يُمكّنها من الحركة الدّورانية.

    تّقنيَّاً، الشّكل الدائري للعجلة يُمكّنها من الحركة الدّورانية.

  • الساعات من الأمثلة الشائعة في الحياة اليومية عن توظيف الشكل الدائري في الأشياء المتكررة.

    الساعات من الأمثلة الشائعة في الحياة اليومية عن توظيف الشكل الدائري في الأشياء المتكررة.

  • التروس هي العناصر الأساسية والبسيطة للحركة في الهندسة الميكانيكية.

    التروس هي العناصر الأساسية والبسيطة للحركة في الهندسة الميكانيكية.

  • المراوح تأخذ الشكل الدائري لأنه الشكل الذي تتخذه المُحركات.

    المراوح تأخذ الشكل الدائري لأنه الشكل الذي تتخذه المُحركات.

  • مُحرِّكات الطيارات دائرية الشكل.

    مُحرِّكات الطيارات دائرية الشكل.

  • الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.

    الشكل الدائري للكاميرا يُمكِّنها من التقاط الضوء من نواحٍ متعددة.

  • العدسات المقعرة والمُحدّبة تصنع في الغالب على قوالب دائرية.

    العدسات المقعرة والمُحدّبة تصنع في الغالب على قوالب دائرية.

  • عوامات السباحة تصنع بشكل دائري لتوزيع قوة الطفو على جميع أنحاء الجسم وسهولة تعلقه فيها.

    عوامات السباحة تصنع بشكل دائري لتوزيع قوة الطفو على جميع أنحاء الجسم وسهولة تعلقه فيها.

  • تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: إجهاد اسطوانة).

    تُصنع أغطية المجاري وغيرها بالشَّكل الدَّائري لتوزيع الضّغط. (انظر: إجهاد اسطوانة).

  • ترمز الدائرة إلى انقطاع التيار الكهربائي في مقاليد الأجهزة الإلكترونية.

    ترمز الدائرة إلى انقطاع التيار الكهربائي في مقاليد الأجهزة الإلكترونية.

  • تطور مقود السيارة في فترات مختلفة.

    تطور مقود السيارة في فترات مختلفة.

  • أنابيب نقل السوائل والغازات.

    أنابيب نقل السوائل والغازات.

  • تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: الدَّرجة المئويَّة (°C)، والفهرنهايت (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير (°Ré) والرومر (°Rø) والودجوود (°W).

    تُستعمَلُ الدَّائرةُ كرمز لقياس درجة الحرارة في أغلب المعايير الحراريَّة، منها: الدَّرجة المئويَّة (°C)، والفهرنهايت (°F) والدليزل (°D) والنيوتن (°N) والرومير (°Ré) والرومر (°Rø) والودجوود (°W).

  • يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة».

    يُشار لقياس الزَّوايا والأقواس الدَّائريَّة بدائرة صغيرة وتُنطق: «درجة».

  • في نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة، تُصنَّف خطوط الطُّول ودوائر العرض بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة.

    في نظام الإحداثيَّات الجُغرافيَّة، تُصنَّف خطوط الطُّول ودوائر العرض بالنَّسبة لبعدها عن خط الاستواء، ويُقاس كُلّ منها بالدرجة التي يرمز لها بالدَّائرة.

  • تُستعمل الدّرجة لقياس تركيز الكحول وتُرسم دائرةً.

    تُستعمل الدّرجة لقياس تركيز الكحول وتُرسم دائرةً.

  • تُستخدم الدَّوائر لتمثيل علاقات ڤن في نظرية المجموعات.

    تُستخدم الدَّوائر لتمثيل علاقات ڤن في نظرية المجموعات.

  • علامة النسبة المئوية «%» تُستخدم للتعبير عن عدد على شكل كسر من مئة.

    علامة النسبة المئوية «%» تُستخدم للتعبير عن عدد على شكل كسر من مئة.

في العمارة والفنون[عدل]

  • قبة زجاجية في إحدى مطاعم مدينة باريس.

    قبة زجاجية في إحدى مطاعم مدينة باريس.

  • برج طغرل من الدّاخل.

    برج طغرل من الدّاخل.

  • قطعة دائريَّة من الحرير مع نقوش منغوليَّة.

    قطعة دائريَّة من الحرير مع نقوش منغوليَّة.

  • إحدى الجسور الرومانية في إيطاليا.

    إحدى الجسور الرومانية في إيطاليا.

  • تتخذ الدوارات المرورية الشكل الدائري المتناظر لتنظيم عملية سير السيارات.

    تتخذ الدوارات المرورية الشكل الدائري المتناظر لتنظيم عملية سير السيارات.

  • دوائر في لوحة فن تجريدي للفنان روبرت ديلواني.

    دوائر في لوحة فن تجريدي للفنان روبرت ديلواني.

  • طبق أثري يعود تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي في متحف شانغهاي.

    طبق أثري يعود تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي في متحف شانغهاي.

  • عجلات ملاهي الألعاب ليلاً.

    عجلات ملاهي الألعاب ليلاً.

  • زخرفة إسلامية على شكل دائرية لجملة "يا غفَّار".

    زخرفة إسلامية على شكل دائرية لجملة “يا غفَّار”.

  • لوحة الفلكي للفنان يوهانس فيرمير.

    لوحة الفلكي للفنان يوهانس فيرمير.

  • لوحة مربعات في دوائر متعرجة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

    لوحة مربعات في دوائر متعرجة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

  • لوحة دوائر في دائرة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

    لوحة دوائر في دائرة للفنان فاسيلي كاندينسكي.

  • لوحة عدة دوائر للفنان فاسيلي كاندينسكي.

    لوحة عدة دوائر للفنان فاسيلي كاندينسكي.

في الطَّبيعةِ[عدل]

  • عين إنسان.

    عين إنسان.

  • كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم.

    كريات الدَّم الحمراء هي المسؤولة عن نقل الغذاء والأكسجين لأجهزة الجسم.

  • فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة.

    فوّهة تايكو، واحدة من الأمثلة المتعددة التي تظهر فيها الدوائر في الطبيعة.

  • الشكل الكامل لقوس المطر هو دائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً.

    الشكل الكامل لقوس المطر هو دائرة كاملة، ويُسمَّى الجُزءُ الَّذي يُمكنُ رؤيتهُ منها فوق الأفق قوساً.

  • هالة الشَّمس أثناء الكسوف الكُلِّي.

    هالة الشَّمس أثناء الكسوف الكُلِّي.

  • الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ.

    الشَّمس، واحدة من بلايين الأجرام السَّماويَّة التي تظهر بشكل القرص الدَّائريّ.

  • دوائر المحاصيل تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج.

    دوائر المحاصيل تحدث عند دهس حقل من المحاصيل، وقد استخدمت للترويج.

  • الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة.

    الموجات الناتجة على سطح الماء دائريَّة.

  • حلقة تكونت بفعل نمو الفطريات.

    حلقة تكونت بفعل نمو الفطريات.

  • دوائر الحجر.

    دوائر الحجر.

  • قطع من فواكه متنوعة من فئة الحمضيات.

    قطع من فواكه متنوعة من فئة الحمضيات.

  • الحلزون أبيض الطرف هو نوع من الحلزونات البرية الشائعة في أوروبا.

    الحلزون أبيض الطرف هو نوع من الحلزونات البرية الشائعة في أوروبا.

  • تباع الشمس هي نبتة بذور زيتية.

    تباع الشمس هي نبتة بذور زيتية.

انظر أيضًا[عدل]

دائرة في المشاريع الشقيقة:
  • Commons-logo.svgصور وملفات صوتية من كومنز.
  • Wikiversity Logo.pngدروس من ويكي الجامعة.

  • قائمة المواضيع المتعلقة بالدائرة.
  • علامة O.
  • حلقة
  • كرة
  • مخروط.
  • قطع ناقص أو الشكل البيضاوي.
  • بيضاوي ديكارتي.
  • قطع مكافئ.
  • قطع زائد.
  • مثلث.
  • حساب مثلثات.

دوائر خاصة

  • دائرة وحدة.
  • دائرة أبولونية.
  • دائرة أرخميدية.
  • دائرة جونسون.
  • دائرة فائقة.
  • كرة فائقة.

في مثلث

  • دائرة داخلية.
  • دائرة خارجية.
  • دائرة محيطة.
  • دائرة محيطة بمثلث قائم.
  • دائرة النقاط التسع.
  • دائرة ليستر.
  • دائرة مالفاتي.
  • دائرة بروكار.

في أشكال أخرى

  • دائرة رباعي داخلية.
  • دائرة مضلع محيطة.
  • نقاط مشتركة بدائرة.
  • نقاط دائرية في اللانهاية.
  • دائرة عظمى.
  • دائرتا فيلاركو.

ملاحظات[عدل]

  1. ^ في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة المرحلة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: “الدائرة: هي مجموعة نّقاط على مستوى تبعد البعد ذاته من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدّائرة”. هذا المحل الهندسي من النّقاط هو مجموعة غير منتهية.
  2. ^ يُشتَرط لنصف قطر الدائرة
    r\displaystyle r

    أن يكون عدداً حقيقيَّاً موجباً. إلا أن هناك فروع في الهندسة من تُعيد هذا التعريف ليشمل الأعداد الحقيقية السالبةَ أيضاً، مثل الإحداثيات القطبية.

  3. ^ يُسمّى المركز نقطة المنتصف أو النّقطة المركزية أيضاً. والترميز O جاء من اللاتينية: Origin بمعنى نقطة الأصل. بينما M من الإنجليزية: Midpoint والتي تعني نقطة المنتصف.
    بينما جاء الترميز العربي للمصطلح من كلمة «مركز».
  4. ^ من اللاحقة اللاتينية: Circum- والتي تعني يُحيط. ويُقرأ مُحيط الدَّائرة
    O\displaystyle O

    .
    بينما جاء الترميز العربي من أول حرفين من كلمة «محيط».

  5. ^ من اللاتينيّة: Area أي: قطعة مستوية وفارغة من مستوى الأرض.
    بينما جاء الترميز العربي بأخذ أول حرف من «مساحة».
  6. ^ من اللاتينية: Radius بمعنى شعاع.
    بينما جاء الترميز العربي من حروف البداية لكلمتي «نصف قطر»
  7. ^ من اللاتينية المأخوذة من الإغريقية: Diagonios بمعنى من زاوية إلى زاوية (القطر).
    بينما جاء الترميز العربي من أول حرف من كلمة «قطر»
  8. ^ نصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، ويُعرف أيضاً بأنه أكبر قطعة في الدائرة.
  9. ^ لاحظ أن تعريف الدّائرة ينص على أنّها “مجموعة نقاط“.
  10. ^ يُعرف نصف القطر المماسي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد أضلاعه. (انظر أيضاً: مسافة بين نقطة وخط)
  11. ^ يُعرف نصف القطر المحيطي لمضلع منتظم على أنه البعد بين مركز المضلع المنتظم وأحد رؤوسه.
  12. ^ القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ”ق” أو “2 نق” حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.
  13. ^ القياس يكون عبر إحاطة مُحيط الدائرة بخيط ثُمّ قياس طوله بعد فرده مستقيماً لاحقاً.
  14. ^ يُقرأً پاي.
  15. ^ الزاوية الداخلية هي عكس الزاوية المُنعكسة. (انظر أيضاً: زاوية)
  16. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على نقطةَ المركز.
  17. ^ سُمِّيت بذلك لأن رأسها يقع على محيط الدائرة وتحصر جزءاً منه.
  18. ^ سُمّيت بذلك بسبب انحصارها بين وتر وومماس على الدائرة.
  19. ^
    Int C(O,r)\displaystyle Int~C(O,r)

    هو ترميز لمجموعة النقاط الداخلية. و

    Int\displaystyle Int

    هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة:

    Interior\displaystyle Interior

    والتي تعني داخليّ.

  20. ^
    Ext C(O,r)\displaystyle Ext~C(O,r)

    هو ترميز لمجموعة النقاط الخارجية. و

    Ext\displaystyle Ext

    هو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة:

    External\displaystyle External

    والتي تعني خارجيّ.

  21. ^ أي: إما أن تكون حادة أو قائمة.
  22. أ ب ت المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعرف بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما
    P\displaystyle P

    ومستقيم ما

    \displaystyle \ell

    بـ

    dist(P,)\displaystyle dist(P,\ell )

    . (انظر أيضاً: مسافة بين نقطة وخط)

  23. ^ أو يقطع الدائرة في نقطة واحدة.
  24. ^ لاحظ أن طول قطر الدائرة
    C(O,r)\displaystyle C(O,r)

    ثابت ويساوي

    2r\displaystyle 2r

    وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.

  25. ^ تشير
    versin\displaystyle \operatorname versin

    إلى دالة الجيب المنكوس

  26. ^ أو يُعبَّر عنه أحياناً بـ: ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.
  27. ^ تتضمن الدوائر الماسة للمثلث الدوائر الداخلية والخارجية.
  28. ^ أو بشكلٍ مُكافئ، وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه.
  29. ^ الرمز
    \displaystyle \cap

    يُشير إلى «تقاطع».

  30. ^ إشارةُ مركز التشابهِ هي كما سبق ذكره: موجبةٌ لمركز التشابه الخارجي، وسالبة لمركز التشابه الداخلي.
  31. ^ ويطلق عليها أيضاً اسمَ الدائرة المثلثية
  32. ^ عكس اتجاه عقارب الساعة لأجلِ زاويةٍ موجبةٍ
    θ>0\displaystyle \theta >0

    ، وفي اتجاه عقارب الساعة من أجل زاويةٍ سالبةٍ

    θ<0\displaystyle \theta <0

    .

  33. ^ ويُطلق عليها اسم «معادلة بارامترية» أيضاً (بالإنجليزية: Parametric equation)‏.
  34. ^ وهو في الواقع
    π\displaystyle \pi

    ضعف طول القطر أي ما يُساوي تقريباً 3.14 ضعف طول القطر، وهو تقدير قريب نوعاً ما نسبةً إلى ذلك الزّمن.

المراجع[عدل]

باللغة العربية[عدل]

  1. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز أديب، عادل نسيم (01 يناير 2009). الهندسة التحليلية. المنهل. ISBN 9796500139289. مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
  2. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق سمحان، معروف؛ التويجري، نجلاء؛ توبان، ليانا (1437هـ/2016م). رياضيات الأولمبياد – مرحلة الإعداد: الهندسة (ط. الأولى). الرياض: العبيكان للنشر. ISBN 978-603-503-866-9. مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 6 سبتمبر، 2017م.. استشهاد بكتاب: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= و|تاريخ= (مساعدة)
  3. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش صابر، طارق؛ أندريكا، دورين (1434هـ). رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول. الرياض. دار الخريجي للنشر والتوزيع. مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. استشهاد بكتاب: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= و|تاريخ= (مساعدة)
  4. أ ب ت ث ج ح خ كتاب الأصول لإقليدس، ترجمة: الطوسي، نصير الدين محمد بن محمد، 1201-1274 نسخة محفوظة 23 مارس 2019 على موقع واي باك مشين.
  5. أ ب ت ث ج ح خ د العلاقة التكاملية بين التكوينات الرمزية والأبعاد الرياضية الهندسية للدائرة في الفن التشكيلي، جبريل, جمال الدين محجوب الجاك; مشرف, -سليمان يحي محمد نسخة محفوظة 11 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
  6. أ ب ت ث ج ح القافلة، فريق. “الدائرة | مجلة القافلة”. مؤرشف من الأصل في 10 فبراير 2018. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  7. أ ب ت ث “الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken”. Matteboken. مؤرشف من الأصل في 05 سبتمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017.
  8. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق سعيد سعد الفهمي الزهراني (2013). المرجع في أولمبياد الرياضيات. مطابع الحميضي. ISBN 9786030112494.
  9. أ ب ت “الرموز الهندسية نموذج الدائرة ومداها المفاهيمي في التجربة التشكيلية”. دنيا الرأي. مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.

بلغات أجنبية[عدل]

  1. أ ب “Circle definition with calculator – Math Open Reference”. www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 6 سبتمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 11 مارس 2020.
  2. ^ “Conic section – circle – Math Open Reference”. www.mathopenref.com. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  3. ^ “Simple proofs: Archimedes’ calculation of pi « Math Scholar”. mathscholar.org. مؤرشف من الأصل في 22 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  4. ^ “Approximating Pi — NOVA | PBS”. www.pbs.org. مؤرشف من الأصل في 24 يوليو 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  5. ^ approximated 2π to 9 sexagesimal digits. Al-Kashi, author: Adolf P. Youschkevitch, chief editor: Boris A. Rosenfeld, p. 256 O’Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، “Ghiyath al-Din Jamshid Mas’ud al-Kashi”، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات. Azarian, Mohammad K. (2010), “al-Risāla al-muhītīyya: A Summary”, Missouri Journal of Mathematical Sciences 22 (2): 64–85.
  6. ^ “A Brief History of Pi (π)”. Exploratorium (بالإنجليزية). 23 يناير 2017. Archived from the original on 2020-02-24. Retrieved 2020-03-12.
  7. ^ Fraser, Craig G. – The Cosmos: A Historical Perspective (2006) – p.14
  8. ^ Lawson، Russell M. (2004). Science in the Ancient World: An Encyclopedia. أي بي سي-كليو. ص. 29–30. ISBN 1851095349.استشهاد بكتاب: صيانة CS1: ref duplicates default (link)
  9. أ ب Jean-François Charnier, “The Circle from East to West”, The Louvre Abu Dhabi: A World Vision of Art, October 29, 2019 نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
  10. أ ب Davis, P.J. (2006). Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6432-6. Archived from the original on 29 March 2019. Retrieved 2019-01-15. نسخة محفوظة 12 مارس 2020 على موقع واي باك مشين.
  11. أ ب Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed.). New York: Dover Publications. pp. 50–62. ISBN 0-486-20630-0.
  12. أ ب Azad, H., and Laradji, A., “Some impossible constructions in elementary geometry”, Mathematical Gazette 88, November 2004, 548–551.
  13. أ ب ت ث ج “Geometry – Circles and Angles”. Malin Christersson’s Math Site (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-09-11. Retrieved 2020-03-12.
  14. ^ Muḥammad ibn Mukarram Ibn (1997). لسان العرب. دار بيروت للطباعة والنشر،. مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
  15. ^ krikos نسخة محفوظة 2013-11-06 على موقع واي باك مشين., Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  16. ^ Ilia Nikolaevich Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.
  17. ^ Arnold، B. H. (2013)، Intuitive Concepts in Elementary Topology، Dover Books on Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 58، ISBN 9780486275765، مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020.
  18. ^ “What Is Circle?”. www.cut-the-knot.org. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  19. ^ Harkness, James (1898). “Introduction to the theory of analytic functions”. Nature. 59 (1530): 30. Bibcode:1899Natur..59..386B. doi:10.1038/059386a0. مؤرشف من الأصل في 07 مارس 2009.[وصلة مكسورة]
  20. أ ب ت ث Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
  21. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007 (orig. 1952).
  22. ^ Courant and Robbins 1996, p. 172; Durell 1928, p. 73
  23. ^ Weisstein, Eric W. “Cross Ratio”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2018-11-02. Retrieved 2020-03-12.
  24. أ ب ت ث H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer.Geometry revisited, volume 19 ofNew MathematicalLibrary. Random House, Inc., New York, 1967.
  25. أ ب Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (ط. 3d ed). New York: McGraw-Hill. 1979. ISBN 0-07-000657-1. OCLC 4036464. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. استشهاد بكتاب: |edition= has extra text (مساعدة)
  26. ^ The Associated Harmonic Quadrilateral, Paris Pamfilos, Forum Geometricorum, Volume 14 (2014) 15–29.
  27. ^ Hans Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Courier Dover Publications, 1979
  28. ^ Michael Henle, “Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete”, 2nd edition, Prentice Hall, 2001
  29. ^ Weisstein, Eric W. “Degenerate”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2019-11-29.
  30. ^ “The Most Marvelous Theorem in Mathematics”. www.maa.org. مؤرشف من الأصل في 24 يونيو 2017. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  31. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز Weisstein, Eric W. “Circle”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2020-03-11.
  32. ^ O’Connor، John J.؛ Robertson، Edmund F.، “Cartesian Oval”، تاريخ ماكتوتور لأرشيف الرياضيات
  33. ^ Encyclopaedia of mathematics : an updated and annotated translation of the Soviet “Mathematical encyclopaedia”. Dordrecht: Reidel. ©1988-©1994. ISBN 1-55608-010-7. OCLC 16755499. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. استشهاد بكتاب: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
  34. ^ Burago (2001) [1994], “Isoperimetric inequality”, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
  35. أ ب ت ث ج ح خ K.، المحرر (31 يناير 1882). Steiner, Jacob: Gesammelte Werke. Band 2. Berlin, New York: DE GRUYTER. ISBN 978-3-11-161171-6. مؤرشف من الأصل في 28 يونيو 2018.
  36. أ ب ت Blåsjö, Viktor (2005). “The Evolution of the Isoperimetric Problem”. Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526–566. doi:10.2307/30037526. JSTOR 30037526.
  37. أ ب ت “The Unit Circle Deformed”. students.rockefeller.edu. مؤرشف من الأصل في 26 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  38. أ ب ت “p-norm in nLab”. ncatlab.org. مؤرشف من الأصل في 25 مارس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  39. أ ب Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
  40. ^ “IXL | Similarity of circles | Geometry math”. IXL Learning (بالإنجليزية). Archived from the original on 2015-09-19. Retrieved 2020-03-12.
  41. ^ Katz، Victor J. (1998)، A History of Mathematics / An Introduction (ط. 2nd)، Addison Wesley Longman، ص. 108، ISBN 978-0-321-01618-8، مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2020
  42. ^ Andrews، George E.؛ Askey، Richard؛ Roy، Ranjan (1999). Special Functions. مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 58. ISBN 978-0-521-78988-2.
  43. ^ Gupta، R.C. (1992). “On the remainder term in the Madhava–Leibniz’s series”. Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
  44. ^ πe trillion digits of π نسخة محفوظة 6 December 2016 على موقع واي باك مشين.
  45. ^ Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes’ constant on Google Cloud نسخة محفوظة 19 أكتوبر 2019 على موقع واي باك مشين.
  46. ^ Weisstein, Eric W. “Arc”. MathWorld.
  47. ^ “معلومات عن قطاع دائري على موقع bigenc.ru”. bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 12 ديسمبر 2019.
  48. ^ Gerard, L. J. V., The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.
  49. أ ب ت ث ج ح خ Stefan Lozanovski. A Beautiful Journey Through Olympiad Geometry (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-08-22.
  50. ^ شتاينر (1826). “Einige geometrische Betrachtungen”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 161–184.
  51. ^ داربو، غاستون (1872). “Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l’espace”. Annales Scientifique de l’École Normale Superieure 1: 323–392.
  52. ^ Coxeter، H. S. M. (1969). Introduction to Geometry (الطبعة 2nd). New York: Wiley.
  53. أ ب “Tangent Circles”. whistleralley.com. مؤرشف من الأصل في 15 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 12 مارس 2020.
  54. ^ Eric W. Weisstein (2007). “circle – circle intersection” (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-06-19. Retrieved 24/12/2019. استشهاد ويب: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (help)
  55. أ ب ت ث Coxeter, H. S. M. “Inversion in a Circle” and “Inversion of Lines and Circles.” §6.1 and 6.3 in Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 77-83, 1969.
  56. أ ب Euclid (09 مايو 2013). The Thirteen Books of the Elements (بالإنجليزية). Courier Corporation. ISBN 9780486157290. Archived from the original on 2020-03-07.
  57. ^ Pedoe, D. (1995). “Circles: A Mathematical View, rev. ed”. Washington, DC: Math. Assoc. Amer.
  58. ^ Weisstein, Eric W. “Lens”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-07-30. Retrieved 2020-03-12.
  59. ^ Postnikov، M. M. (2000)، “The problem of squarable lunes”، الرياضيات الأمريكية الشهرية، 107 (7): 645–651، doi:10.2307/2589121، JSTOR 2589121. Translated from Postnikov’s 1963 Russian book on نظرية غالوا.
  60. ^ Heath، Thomas L. (2003)، A Manual of Greek Mathematics، Courier Dover Publications، ص. 121–132، ISBN 0-486-43231-9.
  61. ^ James، Robert C.؛ James، Glenn (1992). Mathematics Dictionary (ط. Fifth). Chapman & Hall. ص. 436. مؤرشف من “unit%20complex%20number”&pg=PA436#v=onepage&q=”unit%20complex%20number”&f=false الأصل في 31 ديسمبر 2019.
  62. ^ Woodward، Ernest (ديسمبر 1978). Geometry – Plane, Solid & Analytic Problem Solver. Problem Solvers Solution Guides. Research & Education Association (REA). ص. 359. ISBN 978-0-87891-510-1. مؤرشف من الأصل في 11 مارس 2020.
  63. ^ Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R. (ed.). A Distorted View of Geometry. Mathematical Plums. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.
  64. ^ Mottola, R. M. “Liutaio Mottola Lutherie Information Website”. Liutaio Mottola Lutherie Information Website (بالإنجليزية). Archived from the original on 2020-01-05. Retrieved 2020-03-12.
  65. ^ THE SAGITTA AND ITS APPLICATIONS, Herbert Wertheim College of Engineering; Department of Mechanical & Aerospace Engineering نسخة محفوظة 24 أكتوبر 2018 على موقع واي باك مشين.
  66. أ ب ت R. A. Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (ط. reprint of 1929 edition by Houghton Miflin). New York: Dover Publications. ص. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.
  67. أ ب Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, p. 21, ISBN 978-0-7637-4366-6/
  68. أ ب Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  69. ^ Nelson, Roger, “Euler’s triangle inequality via proof without words,” Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.
  70. ^ Dragutin Svrtan and Darko Veljan, “Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities”, Forum Geometricorum 12 (2012), 197–209. http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html نسخة محفوظة 2019-10-28 على موقع واي باك مشين.
  71. ^ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, “Euler and triangle geometry”, Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.
  72. ^ Marie-Nicole Gras, “Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers”, Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html نسخة محفوظة 2019-10-19 على موقع واي باك مشين.
  73. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  74. ^ Altshiller-Court (1925, pp. 103–110)
  75. ^ Kay (1969, pp. 18,245)
  76. ^ Casey, John (1886). Nine-Point Circle Theorem, in A Sequel to the First Six Books of Euclid (ط. 4th). London: Longmans, Green, & Co. ص. 58. مؤرشف من الأصل في 12 مارس 2020.
  77. ^ Usiskin، Zalman؛ Griffin، Jennifer؛ Witonsky، David؛ Willmore، Edwin (2008)، “10. Cyclic quadrilaterals”، The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition، Research in mathematics education، IAP، ص. 63–65، ISBN 978-1-59311-695-8
  78. أ ب Bryant، Victor؛ Duncan، John (2010)، “Wheels within wheels”، The Mathematical Gazette، 94 (November): 502–505.
  79. أ ب Maley، F. Miller؛ Robbins، David P.؛ Roskies، Julie (2005). “On the areas of cyclic and semicyclic polygons” (PDF). Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يناير 2020.
  80. ^ Josefsson، Martin (2011)، “More Characterizations of Tangential Quadrilaterals” (PDF)، Forum Geometricorum، 11: 65–82، مؤرشف من الأصل (PDF) في 13 مارس 2020.
  81. ^ Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images, Mathematical Association of America, 2011, p. 125.
  82. ^ Wilson, Jim. “Ptolemy’s Theorem.” link verified 2009-04-08 نسخة محفوظة 15 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  83. ^ “Sine, Cosine, and Ptolemy’s Theorem”. مؤرشف من الأصل في 10 يوليو 2018.
  84. ^ Euler, Leonhard (1767). “Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum”. Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae. 11: 103–123. E325. مؤرشف من الأصل في 11 أبريل 2015.
  85. ^ “William Wallace (1768 – 1843)” en. مؤرشف من الأصل في 1 أكتوبر 2018. اطلع عليه بتاريخ 15 مارس 2020. استشهاد ويب: الوسيط غير صالح |script-title=: missing prefix (مساعدة)
  86. ^ “Gibson History 7 – Robert Simson”. 30 يناير 2008. مؤرشف من الأصل في 09 أكتوبر 2016.
  87. ^ Todor Zaharinov, “The Simson triangle and its properties”, Forum Geometricorum 17 (2017), 373–381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf نسخة محفوظة 2019-02-14 على موقع واي باك مشين.
  88. ^ Biggs، N. L. (1981)، “T. P. Kirkman, mathematician”، جمعية الرياضيات في لندن، 13 (2): 97–120، doi:10.1112/blms/13.2.97، MR 0608093
  89. أ ب Pascal 1640, translation Smith 1959، صفحة 326
  90. أ ب Graham، L. A. (1959). Ingenious Mathematical Problems and Methods. New York: Dover. ISBN 0486205452. مؤرشف من الأصل في 17 مارس 2020. اطلع عليه بتاريخ 01 ديسمبر 2012.
  91. ^ Casey، J. (1866)، “On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane”، Proceedings of the Royal Irish Academy، 9: 396–423، JSTOR 20488927. See in particular the bottom of p. 411.
  92. ^ Kimberling، Clark (1994)، “Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle”، Mathematics Magazine، 67 (3): 163–187، JSTOR 2690608، MR 1573021.
  93. ^ Encyclopedia of Triangle Centers نسخة محفوظة April 19, 2012, على موقع واي باك مشين., accessed 2014-10-24.
  94. ^ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012، صفحة 94
  95. ^ Miquel، Auguste (1838)، “Mémoire de Géométrie”، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées، 1: 485–487، مؤرشف من الأصل في 13 فبراير 2013، اطلع عليه بتاريخ 14 مارس 2020
  96. ^ Wells 1991، صفحة 184 – Wells refers to Miquel’s theorem as the pivot theorem
  97. أ ب Johnson، Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).
  98. ^ Casey، J. (1866). “On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane”. Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396–423. JSTOR 20488927.
  99. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  100. ^ Martin Celli, “A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings”, Forum Geometricorum 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf نسخة محفوظة 2018-04-24 على موقع واي باك مشين.
  101. أ ب ت Kunkel, Paul (2007), “The tangency problem of Apollonius: three looks” (PDF), BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 22 (1): 34–46, doi:10.1080/17498430601148911 نسخة محفوظة 24 مارس 2018 على موقع واي باك مشين.
  102. ^ Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications.
  103. أ ب Weisstein, Eric W. “Inversion”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-12-29. Retrieved 2020-03-11.
  104. ^ Durell, C. V. “Inversion.” Ch. 10 in Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 105-120, 1928.
  105. ^ Coxford, Arthur. Trigonometry. ص. 8–12.
  106. ^ Bityutskov, V.I. (07 فبراير 2011). “Trigonometric Functions”. Encyclopedia of Mathematics (بالإنجليزية). Archived from the original on 2017-12-29. Retrieved 2017-12-29.
  107. ^ Coxford, Arthur. Trigonometry. ص. 125.
  108. ^ “Clark University”. مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2017.
  109. ^ Weisstein, Eric W. “Circular Functions”. mathworld.wolfram.com (بالإنجليزية). Archived from the original on 2017-04-03. Retrieved 2020-03-01.
  110. ^ “معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع zthiztegia.elhuyar.eus”. zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2019.
  111. ^ “معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع mathworld.wolfram.com”. mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 3 أكتوبر 2018.
  112. ^ “معلومات عن جذور الوحدة (تحليل عقدي) على موقع brilliant.org”. brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 14 يناير 2019.
  113. ^ “معلومات عن كرة على موقع babelnet.org”. babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 13 ديسمبر 2019.
  114. ^ “معلومات عن كرة على موقع britannica.com”. britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2 أبريل 2017.
  115. ^ “معلومات عن كرة على موقع jstor.org”. jstor.org. مؤرشف من الأصل في 26 مايو 2019.
  116. ^ Albert 2016، p. 43
  117. ^ “MathWorld: Cylindric section”. مؤرشف من الأصل في 15 يناير 2018.
  118. ^ Slaught، H.E.؛ Lennes، N.J. (1919)، Solid Geometry with Problems and Applications (PDF) (ط. Revised)، Allyn and Bacon، ص. 79–81، مؤرشف من الأصل (PDF) في 27 سبتمبر 2019
  119. ^ دنكان سومرفيل (1914) Elements of Non-Euclidean Geometry, page 193 via أرشيف الإنترنت
  120. ^ “Drawing Compass – History, Use and Types”. www.historyofpencils.com. مؤرشف من الأصل في 24 أغسطس 2019. اطلع عليه بتاريخ 07 مارس 2020.
  121. ^ Ammer، Christine. “Square the Circle. Dictionary.com. The American Heritage® Dictionary of Idioms”. Houghton Mifflin Company. مؤرشف من الأصل في 09 سبتمبر 2015. اطلع عليه بتاريخ 16 أبريل 2012.
  122. ^ Guilbeau، Lucye (1930). “The History of the Solution of the Cubic Equation”. Mathematics News Letter. 5 (4): 8–12. doi:10.2307/3027812. JSTOR 3027812.
  123. ^ It shows up in Plato’s الجمهورية (ق. 380 BC) VII.530
  124. ^ Lucye Guilbeau (1930). “The History of the Solution of the Cubic Equation”, Mathematics News Letter 5 (4), p. 8-12.
  125. ^ Stewart، Ian. Galois Theory. ص. 75.
  126. ^ “معلومات عن تثليث زاوية على موقع britannica.com”. britannica.com. مؤرشف من الأصل في 5 سبتمبر 2015.
  127. ^ “معلومات عن تثليث زاوية على موقع mathworld.wolfram.com”. mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 9 يوليو 2019.
  128. ^ “معلومات عن تثليث زاوية على موقع id.loc.gov”. id.loc.gov. مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2019.
  129. ^ آرثر كوستلر, The Sleepwalkers: A History of Man’s Changing Vision of the Universe (1959)
  130. ^ برقلس, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, “Of Plato” نسخة محفوظة 13 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
  131. ^ “Chronology for 30000BC to 500BC”. www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. مؤرشف من الأصل في 23 يناير 2018. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017.
  132. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. نسخة محفوظة 20 مايو 2017 على موقع واي باك مشين.
  133. أ ب ت ث ج ح خ د Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3.
  134. أ ب Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
  135. أ ب بالإنجليزية: Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91  ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat). نسخة محفوظة 7 نوفمبر 2016 على موقع واي باك مشين.
  136. ^ Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
  137. ^ یان.‌پ.‌هوخندایک؛ امینی، ‌حسن (1392-01-04). “مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی”. میراث علمی اسلام و ایران (بالفارسية). 3 (2): 86–98. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. استشهاد بدورية محكمة: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
  138. ^ میرابوالقاسمى، سید محمد تقى؛ باقرى، محمد (22 نوفمبر 2003). “رسالهء عبدالرحمان صوفی دربارهء هندسهء پرگاری”. مجله تاریخ علم. 1 (1). ISSN 1735-0573. مؤرشف من الأصل في 06 مايو 2017.
  139. ^ یان.‌پ.‌هوخندایک؛ امینی، ‌حسن (1392-01-04). “مطالعه مقاطع مخروطی در دوره اسلامی”. میراث علمی اسلام و ایران (بالفارسية). 3 (2): 86–98. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. استشهاد بدورية محكمة: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)
  140. ^ عالم‌زاده، ‌هادی؛ دوست‌قرین، ‌فاطمه (1387-07-01). “میرزا ابوتراب نطنزی و رویکردی بدیع به مسأله تثلیث زاویه”. تاریخ و تمدن اسلامی (بالفارسية). 8 (4): 123–140. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. استشهاد بدورية محكمة: تحقق من التاريخ في: |تاريخ= (مساعدة)

قراءة موسعة[عدل]

  • الهندسة: دورة تدريبية شاملة (1988م) «بيدو دان». (بالإنجليزية: Geometry: a comprehensive course)‏.
  • Hazewinkel، Michiel، المحرر (2001)، “الدائرة”، Encyclopedia of Mathematics، سبرنجر، ISBN 978-1-55608-010-4 (بالإنجليزية)

ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية[عدل]

مَسرد المفردات وفق أقسام المقالة
مصطلحات أساسية
مركز Center
محيط Circumference
مساحة Area
نصف قطر (شعاع) Radius
وتر Chord
قطر Diameter
قوس Arc
قطع وجزئيات
قطاع Sector
قطعة Circular segment
قرص Disk
مصطلحات استعملت في التعاريف
نسبة تبادلية Cross-ratio
دائرة معممة Generalized circle
تأويل لانهائي Infinite limit
حالة حدية Limitig case
قطع مخروطي Conic secion
استيفاء المساحة Area optimization
متباينة المحيط الثابت Isoperimetric inequality
معيار-p p-norm
زوايا
العدد ط Pi
راديان Radian
زاوية مركزية Centeral angle
زاوية محيطية Inscribed angle
زاوية مماسية Tangential angle
زاوية خارجية External angle
زاوية داخلية Internal angle
نقاط
نقطة داخلية Internal point
نقطة محيطيَّة Circumference point
نقطة خارجية External point
قوة نقطة Power of a point
مبرهنة قطع الوتر Intersecting chord theorem
مبرهنة القاطع Intersecting secants theorem
مبرهنة قاطع التماس Tangent-secant theorem
أزواج الدوائر حسب بعدها عن بعضها
دائرتان متباعدتان Non-intersecting circles
دائرتان متقاطعتان Intersecting circles
دائرتان متماستان داخلياً Internally tangent circles
دائرتان متماستان خارجياً Externally tangent circles
أزواج الدوائر حسب مراكزها وأنصاف أقطارها
دائرتان متعامدتان Orthogonal circles
دائرتان متطابقتان Congruent circles
دائرتان متحدتا المركز Concentric circles
دائرتان منطبقتان coincident circles
أشكال مركبة من دوائر
حلقة Annulus
عدسة Lens
مثلث رولو Reuleaux triangle
أربيلوس Arbelos
مستقيمات وأوتار
مستقيم قاطع Secant line
مستقيم مماس Tangent line
مستقيم مار Non-intersecting line
خط التناظر/خط مركزي Symmetry line/Center line
وتر مشترك Common chord
مماس مشترك خارجي External common tangent
مماس مشترك داخلي Internal common tangent
قطعة تماس Tangency segment
محور أساسي Radical axis
عمق القوس أو السهم Sagitta أو Versine
الدائرة في نظرية الزمر
زمرة التناظر Symmetry group
تناظر انعكاسي Reflection symmetry
دوائر مرتبطة بمضلعات
مضلع دائري Cyclic polygon
مضلع مماسي Tangential polygon
دائرة محيطة Circumcircle
دائرة داخلية Incircle
دائرة خارجية Excircle
دائرة النقاط التسع Nine-point circle
دائرة الوحدة Unit circle
مبرهنات وعلاقات أخرى
التحاكي Homothety
التعاكس Inversion
الإحداثيات الخطية الثلاثية Trilinear coordinates
قانون الجيب Sine law
مبرهنة الفراشة Butterfly theorem
مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري Japanese theorem in cyclic quadrilateral
الكرة الفائقة Hypersphere
مبرهنة طاليس Thales theorem
مَسرد المفردات الأبجدي
A
حلقة Annulus
أربيلوس Arbelos
قوس Arc
مساحة Area
استيفاء المساحة Area optimization
B
مبرهنة الفراشة Butterfly theorem
C
مركز Center
زاوية مركزية Centeral angle
وتر Chord
قطعة Circular segment
دائرة محيطة Circumcircle
محيط Circumference
نقطة محيطيَّة Circumference point
دائرتان منطبقتان coincident circles
وتر مشترك Common chord
دائرتان متحدتا المركز Concentric circles
دائرتان متطابقتان Congruent circles
قطع مخروطي Conic secion
نسبة تبادلية Cross-ratio
مضلع دائري Cyclic polygon
D
قطر Diameter
قرص Disk
E
دائرة خارجية Excircle
زاوية خارجية External angle
مماس مشترك خارجي External common tangent
نقطة خارجية External point
دائرتان متماستان خارجياً Externally tangent circles
G
دائرة معممة Generalized circle
H
التحاكي Homothety
الكرة الفائقة Hypersphere
I
دائرة داخلية Incircle
تأويل لانهائي Infinite limit
زاوية محيطية Inscribed angle
زاوية داخلية Internal angle
مماس مشترك داخلي Internal common tangent
نقطة داخلية Internal point
دائرتان متماستان داخلياً Internally tangent circles
مبرهنة قطع الوتر Intersecting chord theorem
دائرتان متقاطعتان Intersecting circles
مبرهنة القاطع Intersecting secants theorem
التعاكس Inversion
متباينة المحيط الثابت Isoperimetric inequality
J
مبرهنة يابانية في الرباعي الدائري Japanese theorem in cyclic quadrilateral
L
عدسة Lens
حالة حدية Limitig case
دائرة النقاط التسع Nine-point circle
دائرتان متباعدتان Non-intersecting circles
مستقيم مار Non-intersecting line
O
دائرتان متعامدتان Orthogonal circles
P
معيار-p p-norm
العدد ط Pi
قوة نقطة Power of a point
راديان Radian
R
محور أساسي Radical axis
نصف قطر (شعاع) Radius
تناظر انعكاسي Reflection symmetry
مثلث رولو Reuleaux triangle
S
عمق القوس أو السهم Sagitta أو Versine
مستقيم قاطع Secant line
قطاع Sector
قانون الجيب Sine law
زمرة التناظر Symmetry group
خط التناظر / خط مركزي Symmetry line/Centerline
T
قطعة تماس Tangency segment
مستقيم مماس Tangent line
مبرهنة قاطع التماس Tangent-secant theorem
زاوية مماسية Tangential angle
مضلع مماسي Tangential polygon
مبرهنة طاليس Thales theorem
الإحداثيات الخطية الثلاثية Trilinear coordinates
U
دائرة الوحدة Unit circle

وصلات خارجية[عدل]

  • دروس في هندسة الدائرة على منصة إدراك.
  • مساحة الدائرة على منصة إدراك.
  • كتاب Inventing the circle للكاتب يوهان جيليس.
  • الدائرة في أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات.
  • “تطبيقات (بُرَيمجات) جافا تفاعلية”. مؤرشف من الأصل في 07 سبتمبر 2019. لخواص الإنشاءات الأساسية المرتبطة بالدائرة.
  • “مسائل ونقاش حول الدائرة”. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2019. Cut the knot
  • “تطبيق تفاعلي لمعادلة الدائرة القياسية”. مؤرشف من الأصل في 02 مايو 2019.
  • الدائرة في الهندسة الوصفية. على اليوتيوب.
  • الدائرة في الهندسة التحليلية. على اليوتيوب.
  • ع
  • ن
  • ت
الدائرة
قائمة مواضيع الدائرة
أجزاء
رئيسة
  • المركز
  • نصف القطر
  • محيط
  • وتر
  • قطر
مستقيمات
  • قاطع
  • مماس
  • مار
زوايا
  • زاوية مركزية
  • زاوية محيطية
  • زاوية مماسية
أشكال
  • قوس
  • قطاع
  • قطعة
  • حلقة
  • قرص
دوائر
هَندسيَّة
  • دائرة
  • دوائر أبولونية
فِيزيائيَّة
  • دائرة طرد مركزي
  • دائرة الجذب المركزي
  • دائرة الالتباس [الإنجليزية]
  • مدار دائري
  • دائرة مور
  • حركة دائرية
جٌغرافيَّة
  • الدائرة القطبية الشمالية
  • دائرة المدى
  • خط الاستواء
  • مسافة الدائرة العظمى [الإنجليزية]
  • دائرة قطبية
  • دائرة الموضع [الإنجليزية]
  • مدار السرطان
  • مدار الجدي
استصلاحيَّة
  • دائرة الملحق [الإنجليزية]
  • خنادق دائرية [الإنجليزية]
تَرميزيًّة
  • حلقات بورومين
  • نقطة مطوقة
  • هلال
في مجالات أخرى
  • خرزات بيلي
مُبرهنات ومسائل
  • مسألة تومسون [الإنجليزية]
  • مسألة الحزام [الإنجليزية]
مُتعلّقات
  • شبكة أبولونية
  • ع
  • ن
  • ت
مواضيع في هندسة رياضية
فروع الهندسة
  • هندسة رياضية
  • هندسة إقليدية
  • هندسة فراغية
  • هندسة متعددة الأبعاد
  • هندسة لاإقليدية
  • هندسة تحليلية
  • ع
  • ن
  • ت
اليونان القديمة
  • خطوط عريضة
  • جدول زمني
الفترات التاريخية
  • الحضارة الكيكلادية
  • الحضارة المينوسية
  • يونان الموكيانية
  • العصور المظلمة اليونانية
  • اليونان العتيقة
  • العصر الكلاسيكي اليوناني
  • اليونان الهلنستية
  • اليونان الرومانية
الجغرافيا
  • بحر إيجة
  • أيولس
  • الإسكندرية
  • أنطاكية
  • كبادوكيا
  • كريت
  • قبرص
  • دوريي
  • أفسس
  • إبيروس
  • الدردنيل
  • إيونية
  • البحر الأيوني
  • مقدونيا القديمة
  • ماجنا غراسيا
  • ميليتوس
  • بيلوبونيز
  • بيرغامون
  • البنطس
  • تاوريسا
  • المستعمرات في العصور القديمة
الدولة المدينة
  • آرغوس
  • أثينا
  • بيزنطة
  • خالكيذا
  • كورينث
  • إريتريا
  • كورفو
  • لاريسا
  • ميغالوبولي
  • ميغارا
  • رودس
  • ساموس
  • أسبرطة
  • سرقوسة
  • ثيفا
السياسة
  • Boeotarch
  • بويل
  • Koinon
  • Proxeny
  • إستراتيجوس
  • Tagus
  • طاغية
  • Amphictyonic League
الأثينية
  • أغورا
  • اريوباغوس
  • إكيلازيا
  • Graphē paranómōn
  • Heliaia
  • أوستراكية
الاسبارطية
  • Apella
  • Ephor
  • Gerousia
  • Harmost
المقدونية
  • Synedrion
  • Koinon
العسكرية
  • حروب
  • Athenian military
  • Antigonid Macedonian army
  • الجيش المقدوني
  • عرادة
  • Cretan archers
  • الجيوش الهلنستية
  • Hippeis
  • هوبليت
  • Hetairoi
  • الفيلق المقدوني
  • تشكيلة سلامية
  • Peltast
  • Pezhetairos
  • ساريسا
  • Sacred Band of Thebes
  • Sciritae
  • الجيش السلوقي
  • جيش إسبرطة
  • Toxotai
  • Xiphos
  • Xyston
قائمة اليونانيين القدماء
الحكام
  • ملوك آرغوس
  • Archons of Athens
  • ملوك أثينا
  • حكام مملكة كوماجيني
  • ملوك طوائف الإسكندر
  • قائمة ملوك ليديا
  • ملوك مقدونيا
  • ملوك بايونيا
  • الحكام الأتاليين لمملكة بيرغامون
  • حكام مملكة البنطس
  • ملوك سبارتا
  • Tyrants of Syracuse
الفلاسفة
  • أناكساغوراس
  • أناكسيماندر
  • أنكسيمانس
  • أنتيستنيس
  • أرسطو
  • ديمقريطوس
  • ديوجانس الكلبي
  • إيمبيدوكليس
  • إبيقور
  • غورغياس
  • هرقليطس
  • هيباتيا
  • ليوكيبوس
  • بارمينيدس
  • أفلاطون
  • بروتاغوراس
  • فيثاغورس
  • سقراط
  • طاليس
  • زينون
المؤلفين
  • إسخيلوس
  • إيسوب
  • ألكايوس من ميتيليني
  • أرخيلوخوس
  • أريستوفان
  • بقليدس
  • يوربيديس
  • هيرودوت
  • هسيود
  • Hipponax
  • هوميروس
  • Ibycus
  • لوقيان
  • ميناندر
  • Mimnermus
  • Panyassis
  • Philocles
  • بندار
  • فلوطرخس
  • بوليبيوس
  • صافو
  • سيمونيدس
  • سوفوكليس
  • Stesichorus
  • Theognis
  • ثوسيديديس
  • Timocreon
  • Tyrtaeus
  • كسينوفون
أخرون
  • أجيسيلاوس الثاني
  • أجيس الثاني
  • ألكيبيادس
  • الإسكندر الأكبر
  • أراتوس
  • أرخميدس
  • أسبازيا
  • ديموستيني
  • إبامينونداس
  • إقليدس
  • أبرخش
  • أبقراط
  • ليونيداس
  • ليكرجوس
  • ليساندر
  • Milo of Croton
  • ملتيادس
  • باوسانياس
  • بريكليس
  • فيليب المقدوني
  • فيلوبويمين
  • براكسيتيليز
  • بطليموس
  • بيروس
  • سولون
  • ثيميستوكليس
قوائم
  • الفلاسفة
  • Playwrights
  • شعراء
  • Tyrants
حسب الثقافة
  • قبائل اليونان القديمة
  • Thracian Greeks
  • قائمة المقدونيين القدماء
المجتمع
  • الزراعة
  • Calendar
  • الأزياء
  • العملات
  • المطبخ
  • اقتصاد اليونان القديمة
  • التعليم
  • المهرجانات الأثينية
  • الجنائز اليونانية القديمة وممارسات الدفن
  • المثلية الجنسية
  • القانون
  • الألعاب الأولمبية
  • Pederasty
  • الفلسفة
  • الدعارة
  • الدين
  • العبودية
  • الحروب
  • الزواج
  • اليونان القديمة والنبيذ
الفن والعلوم
  • العمارة
    • إحياء إغريقي
  • الفلك
  • المؤلفات
  • الرياضيات
  • الطب
  • الموسيقي
    • النظام الموسيقي
  • الفُخار
  • النحت
  • التكنولوجيا
  • المسرح
الدين
  • الجنائز اليونانية القديمة وممارسات الدفن
  • الميثولوجيا الإغريقية
    • آلهة الإغريق
  • المعابد
  • الأولمبيون الاثنا عشر
  • العالم السفلي اليوناني
الأماكن المقدسة
  • إلفسينا
  • دلفي
  • ديلوس
  • Dodona
  • جبل أوليمبوس
  • أوليمبيا
العمارة
  • Athenian Treasury
  • بوابة الأسد
  • Long Walls
  • Philippeion
  • مسرح ديونيسيوس
  • نفق يوبيلينوس
المعابد
  • Aphaea
  • آرتميس
  • Athena Nike
  • ارخثيون
  • هيفيستوس
  • معبد هيرا
  • البارثينون
  • Samothrace
  • معبد زيوس، أوليمبيا
اللغة
  • Proto-Greek
  • Mycenaean
  • Homeric
  • اللهجات
    • أيوليكية
    • Arcadocypriot
    • أتيكية
    • دوريكية
    • أيونيكية
    • Locrian
    • المقدونية
    • Pamphylian
  • اليونانية العامية
الكتابة
  • نظام خطي أ
  • نظام خطي ب
  • Cypriot syllabary
  • ألفبائية يونانية
  • أعداد اغريقية
  • Attic numerals
  • المدن
    • مدن إبيروس
  • الأشخاص
  • أسماء الأماكن
  • Stoae
  • المعابد
  • المسارح
  • صفحة تصنيفتصنيف:اليونان القديمة
  • Portal.svg بوابة:اليونان القديم
ضبط استنادي: مكتبات وطنية
  • لاتفيا
  • التشيك
  • ألمانيا
  • إسرائيل
  • الولايات المتحدة
  • أيقونة بوابةبوابة رياضيات
  • أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية
Symbol star gold.svg هذه مقالةٌ مختارةٌ، اعتبارًا من نسخة 10 يونيو 2020 (قارن بالنسخة الحالية · صفحة النقاش· صفحة التصويت)

مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=دائرة&oldid=60104886»

فيديو حول كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم

التماثل

الصف الثاني الأساسي
مادة الرياضيات

سؤال حول كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم

إذا كانت لديك أي أسئلة حول كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم ، فيرجى إخبارنا ، وستساعدنا جميع أسئلتك أو اقتراحاتك في تحسين المقالات التالية!

تم تجميع المقالة كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم من قبل أنا وفريقي من عدة مصادر. إذا وجدت المقالة كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم مفيدة لك ، فالرجاء دعم الفريق أعجبني أو شارك!

قيم المقالات دائرة – ويكيبيديا

التقييم: 4-5 نجوم
التقييمات: 5 1 6 6
المشاهدات: 8 6 3 1 8 1 7 9

بحث عن الكلمات الرئيسية كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم

[الكلمة الرئيسية]
طريقة كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم
برنامج تعليمي كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم
كم مستقيم يقسم الشكل الى قسمين متماثلين تماما بيت العلم مجاني

المصدر: ar.wikipedia.org

Read  2023 البحث في المعجم عن معاني الالفاظ السابقه لغتي ثاني متوسط

Related Posts

2023 تزداد سرعة معظم التفاعلات الكيميائية بإرتفاع درجة الحرارة هذه العلاقة

أنت تبحث عن تزداد سرعة معظم التفاعلات الكيميائية بإرتفاع درجة الحرارة هذه العلاقة ، سنشارك معك اليوم مقالة حول انحلالية – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها بواسطة فريقنا…

2023 نجحت الثورة العسكرية بالقضاء على الدولة العثمانية والإطاحة بالسلطان :

أنت تبحث عن نجحت الثورة العسكرية بالقضاء على الدولة العثمانية والإطاحة بالسلطان : ، سنشارك معك اليوم مقالة حول الثورة العربية الكبرى – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها…

2023 للزكاة مكانة عظيمة حيث أنها الركن ……………… من أركان الإسلام

أنت تبحث عن للزكاة مكانة عظيمة حيث أنها الركن ……………… من أركان الإسلام ، سنشارك معك اليوم مقالة حول أركان الإسلام – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها بواسطة…

2023 انتهت معركة وادي الصفراء بخسارة الجيش العثماني وانتصار القوات السعودية

أنت تبحث عن انتهت معركة وادي الصفراء بخسارة الجيش العثماني وانتصار القوات السعودية ، سنشارك معك اليوم مقالة حول معركة وادي الصفراء – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها…

2023 لتحديد اتجاه المجال المغناطيسي للملف اللولبي نستخدم قاعدة اليد اليمنى

أنت تبحث عن لتحديد اتجاه المجال المغناطيسي للملف اللولبي نستخدم قاعدة اليد اليمنى ، سنشارك معك اليوم مقالة حول حقل مغناطيسي – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها بواسطة…

2023 الموسوعات المقيدة تسمح للمستخدم بالاطلاع على محتوياتها والتعديل عليها

أنت تبحث عن الموسوعات المقيدة تسمح للمستخدم بالاطلاع على محتوياتها والتعديل عليها ، سنشارك معك اليوم مقالة حول قائمة الموسوعات على الإنترنت – ويكيبيديا تم تجميعها وتحريرها…