القطع الناقص أو الإهْلِيلَج (بالإنجليزية: Ellipse)‏ هو المنحني المستوي الذي يحقق الخاصية التالية: مجموع بُعد أي نقطة على هذا المنحنى عن نقطتين ثابتين داخله (تسميان البؤرتان) يبقى ثابتا.^[1][2][3]

البؤرتان هما النقطتان F1 و F2 في الشكل.

أي يمكن رسم القطع الناقص بواسطة خيط مثبت من طرفيه في نقطتين f1 , f2 ورسم القطع الناقص بالقلم حولهما انطلاقا من النقطة x .

القطع الناقص هو أيضا أحد أنواع القطوع المخروطية، فعند قطع مخروط بمستوى مائل على محور المخروط نحصل على قطع ناقص.

يُهتم بالقطع الناقص بصفة خاصة بسبب أن الأجرام السماوية تسير في أفلاك حول الشمس في مدارات في شكل القطع الناقص، وتحتل الشمس أحد بؤرتيه. هذا ما توصلت إليه قوانين كيبلر. فعند مشاهدة مذنب يأتي من الجزء الخارجي للمجموعة الشمسية منجذبا إلى الشمس تزداد سرعته تدريجيا ثم يُجري منحنيا خلفها ثم يبتعد عنها ثانيا، وتنخفض سرعته اثناء ابتعاده عن الشمس. هذا المسار يكون في شكل قطع ناقص؛ وتكون الشمس في إحدى بؤرتيه.

خواص مماسية[عدل]

أنظر الشكل 1:
النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.

إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).

دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:

في طاولة بلياردو على شكل إهليلج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.

والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل إهليلج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.

وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما: هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.

باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما.

المعادلات الجبرية والتباعد المركزي[عدل]

يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالاستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4):

وفيه ينطبق:

$\displaystyle PF2=e.PD$

أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.

حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .

أي أن الاختلاف المركزي قيمته:

$\displaystyle PF2/PD=e$

في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة

$\displaystyle P$

بالنقطة

$\displaystyle (x,y)\,$

على المحورين x , y :

فتكون

$\displaystyle F2\,$

إحدى البؤرتين و F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص.

بالنسبة إلى

$\displaystyle e\,$

معامل التباعد المركزي فهو للقطع الناقص يساوي دائما

$\displaystyle (1>e>0)\,$

.

(إذا كانت e=1 ينتج قطعا مكافئا، وإذا كانت e>1 ينتج قطعا زائدا، وإذا كانت e=0 تنتج دائرة) وتجتمع فيها البؤرتان في بؤرة واحدة.)
نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي

$\displaystyle e\,$

.

يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة:

$\displaystyle \frac x^2a^2+\frac y^2b^2=1\,$

لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع

$\displaystyle a=b=R\,$

)

$\displaystyle \frac x^2a^2+\frac y^2b^2=\frac x^2R^2+\frac y^2R^2=1\,$

$\displaystyle x^2+y^2=R^2\,$

يعطى معامل التباعد المركزي أيضا بالعلاقة:

${\displaystyle e=\varepsilon =\sqrt \frac a^2-b^2a^2=\sqrt 1-\left(\frac ba\right)^2}$

كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب

$\displaystyle e.a\,$

, وهي تساوي أيضا

$\displaystyle \sqrt a^2-b^2$

يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة

$\displaystyle (x_0,y_0)\,$

على الصورة:

$\displaystyle \frac (x-x_0)^2a^2+\frac (y-y_0)^2b^2=1\,$

طرق رسم القطع الناقص[عدل]

هناك العديد من الطرق منها مايلي.

طريقة الخيط والمسمارين[عدل]

تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:

• من تعريف القطع الناقص فإن مجموع أي ضلعين ممتدين من البؤرة وملتقيان في الطرف الآخر على المحيط يكون ثابتا (أزرق). وهذا يمثل طول الخيط الإجمالي L.
• لتحديد طول الخيط L ينطبق
  $\displaystyle L=2a\,$

  .

• لتحديد البعد بين البؤرتين المراد تثبيت طرفي الخيط عليهما نعلم أن القطع الناقص يميزه اختلاف مركزي يساوي e .
• الآن بمعرفة البعد بين البؤرتين يمكن تثبيت الخيط بمسمارين البعد بينهما يساوي 2a. e والبدء بتحريك قلم أو أداة الرسم لتنزلق حول الخيط المشدود وتكمل محيطا مغلقا.

الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .

وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.

لهذ نسمي e معامل التباعد المركزي.

طريقة المسطرة والإطار[عدل]

في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.

طريقة الاسطوانة المقطوعة[عدل]

تتمثل هذه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.

الطرق العددية[عدل]

يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:

$\displaystyle y=\pm b\sqrt 1-x^2/a^2$

عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص.
توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.

الصيغة البارامترية[عدل]

باستخدام معادلات حساب المثلثات

$\displaystyle \cos ,\sin$

يمكن صيغة القطع الناقص

$\displaystyle \tfrac x^2a^2+\tfrac y^2b^2=1$

حيث:

• 
  $\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .$

  

ترجع الإحداثية t المستخدمة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.^[5]

حيث:

t متغير بارامتري (ليس زاوية حقيقية)

مساحة القطع الناقص[عدل]

تساوي مساحة القطع الناقص

$\displaystyle A_\textellipse$

:

$\displaystyle A_\textellipse=\pi ab$

حيث

$\displaystyle a$

و

$\displaystyle b$

هما طولا نصف المحور الأكبر والأصغر، على التوالي. صيغة المساحة

$\displaystyle \pi ab$

بديهية: نبدأ بدائرة نصف قطرها

$\displaystyle b$

(لذا فإن مساحتها هي

$\displaystyle \pi b^2$

) ونضربها في المعامل

$\displaystyle a/b$

لعمل القطع الناقص

$\displaystyle \pi b^2(a/b)=\pi ab$

. من السهل أيضًا إثبات صيغة المساحة بدقة باستخدام التكامل على النحو التالي. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص على النحو التالي

$\displaystyle y(x)=b\sqrt 1-x^2/a^2$

. من أجل

$\displaystyle x\in [-a,a]$

، هذا المنحنى هو النصف العلوي للقطع الناقص. لذا فإن ضعف تكامل

$\displaystyle y(x)$

على المجال

$\displaystyle [-a,a]$

سيكون ضعف مساحة القطع الناقص:

${\displaystyle {\beginalignedA_\textellipse&=\int _-a^a2b{\sqrt 1-\frac x^2a^2}\,dx\\&=\frac ba\int _-a^a2\sqrt a^2-x^2\,dx.\endaligned}}$

التكامل الثاني هو مساحة دائرة نصف قطرها

$\displaystyle a$

، أي

$\displaystyle \pi a^2$

. إذن:

$\displaystyle A_\textellipse=\frac ba\pi a^2=\pi ab.$

محيط القطع الناقص[عدل]

ليكن a نصف محوره الكبير وb نصف محوره الصغير، يُحسَب محيط القطع الناقص

$\displaystyle C$

بتطبيق هذا القانون:

$\displaystyle C\,=\,4a\int _0^\pi /2\sqrt 1-e^2\sin ^2\theta \ d\theta \,=\,4a\,E(e)$

حيث

$\displaystyle e=\sqrt 1-b^2/a^2$

هو معامل التباعد المركزي، و

$\displaystyle E$

هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:

$\displaystyle E(e)\,=\,\int _0^\pi /2\sqrt 1-e^2\sin ^2\theta \ d\theta .$

• تعبير عن المحيط بواسطة المتسلسلة اللانهائية:

${\displaystyle {\beginalignedC&=2\pi a\left[1-\left(\frac 12\right)^2e^2-\left(\frac 1\cdot 32\cdot 4\right)^2\frac e^43-\left(\frac 1\cdot 3\cdot 52\cdot 4\cdot 6\right)^2\frac e^65-\cdots \right]\\&=2\pi a\left[1-\sum _n=1^\infty \left(\frac (2n-1)!!(2n)!!\right)^2\frac e^2n2n-1\right],\endaligned}}$

حيث n!! هو عاملي ثنائي.

وبطريقة أشمل

$\displaystyle C=2\pi a\sum _n=0^\infty \left\lbrace -\left[\prod _m=1^n\left(2m-1 \over 2m\right)\right]^2\varepsilon ^2n \over 2n-1\right\rbrace ;\,\!$

كما تعطي طريقة رامانجن تقريبا أفضل:

$\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-\sqrt (3a+b)(a+3b)\right]$

وبتقريب آخر:

${\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac 3\left(\frac a-ba+b\right)^2{10+\sqrt 4-3\left(\frac a-ba+b\right)^2}}\right);\!\,}$

كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:

${\displaystyle C\approx \frac \pi a(9-\sqrt 35)2}$

وبتقريب مكتسب عمليا:

${\displaystyle C\approx \frac a2\sqrt 93+\frac 12\sqrt 3}$

معرض[عدل]

• 

  تحديد المسافتين الأدنى الأقصى (الملونتين بالاحمر والاصفر) بين إهليلجين غير متشابهين (الملونين بالارجواني)^[6]

• 

  مقطع إهليجي

مراجع[عدل]

انظر أيضًا[عدل]

• لا مركزية (رياضيات)
• بيضوي
• قطع مخروطي
• مخروط
• إسطوانة
• سطح ناقص
• نصف المحور الرئيسي
• نظام إحداثيات إهليلجي
• منحنى حلقي، منحنى موازي للإهليلج

• مرسمة قطع ناقص

• بوابة الرسوميات الحاسوبية
• بوابة القمر
• بوابة أعلام
• بوابة علم الفلك
• بوابة علوم
• بوابة هندسة رياضية
• بوابة المجموعة الشمسية
• بوابة تقانة
• بوابة رياضيات

في كومنز صور وملفات عن: قطع ناقص

جزء من سلسلة مقالات حول
الهندسة الرياضية
الخطوط العريضة [الإنجليزية] التاريخ
الفروع إقليدية لاإقليدية إهليلجية كروية زائدية لا أرخميدية [الإنجليزية] إسقاطية نسبية تركيبية تحليلية جبرية حسابية ديوفانية [الإنجليزية] تفاضلية ريمانية هندسة تماسكية عقدية منتهية متقطعة رياضية رقمية محدبة رياضية حاسوبية وقعية [الإنجليزية]
المبادئ الخواص بعد الإنشاء بالمسطرة والفرجار زاوية منحنى ضلع قطري تعامد رياضي (تعامد هندسي) تواز رأس تطابق تشابه تناظر
صفري الأبعاد نقطة
وحيد البعد الطول مستقيم قطعة مستقيمة
المُسطَّحات مستو مساحة مضلع المثلثات مثلث الارتفاع الوتر مبرهنة فيثاغورس متوازيات الأضلاع متوازي أضلاع مربع مستطيل معين شبه معين رباعيات الأضلاع رباعي أضلاع شبه منحرف طائرة ورقية المنحنيات دائرة القطر المحيط المساحة قطع ناقص
المُجسَّمات حجم مكعب متوازي مستطيلات أسطوانة هرم كرة
ما فوق البعد الثالث مكعب رباعي الأبعاد كرة نونية الأبعاد
علماء الهندسة
وفق الاسم أيدا أريابهاتا أحمس [الإنجليزية] ابن الهيثم أبلونيوس أرخميدس عطية بولياي براهماغوبتا كارتن كوكستر ديكارت إقليدس أويلر غاوس غروموف هيلبرت جيهاديفا [الإنجليزية] كاتيايانا الخيَّام كلاين لوباتشيفسكي مانافا [الإنجليزية] مينكوفسكي مينغاتو [الإنجليزية] باسكال فيثاغورس باراميشفارا [الإنجليزية] بوانكاريه برنارد ريمان سكابي [الإنجليزية] السجزي الطوسي فيبلين [الإنجليزية] فيراسينا [الإنجليزية] يانغ هوي [الإنجليزية] ابن الياسمين زانج قائمة علماء الهندسة
وفق الحقبة قبل الميلاد أحمس [الإنجليزية] مانافا [الإنجليزية] فيثاغورس إقليدس أرخميدس أبلونيوس 1–1400م زانج كاتيايانا أريابهاتا براهماغوبتا فيراسينا [الإنجليزية] ابن الهيثم السجزي الخيَّام ابن الياسمين الطوسي يانغ هوي [الإنجليزية] باراميشفارا [الإنجليزية] 1400–1700م جيهاديفا [الإنجليزية] ديكارت باسكال مينغاتو [الإنجليزية] أويلر سكابي [الإنجليزية] أيدا 1700–1900م غاوس لوباتشيفسكي بولياي برنارد ريمان كلاين بوانكاريه هيلبرت مينكوفسكي كارتن فيبلين [الإنجليزية] كوكستر معاصرون عطية غروموف
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=قطع_ناقص&oldid=60104896»