2023 حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

| $x^2 – 2x – 8 = 0$ | $(x + 4)(x – 2) = 0$ |
| :——————: | :—————————: |
| $x = -4, 2$ | $x = -4, 2$ |

إكمال المربع

إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل

ax2+bx+c\displaystyle ax^2+bx+c\,\!

إلى الشكل

a()2+constant.\displaystyle a(\cdots \cdots )^2+\mboxconstant.\,

ومصطلح “constant” يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:

ax2+bx+c\displaystyle ax^2+bx+c\,\!

تحولت إلى

a(x+h)2+k\displaystyle a(x+h)^2+k\,

بقيم معينة لكلا من h و k.

استخدامات طريقة إكمال المربع:

ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

مقدمة[عدل]

تمهيد[عدل]

يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

(x+p)2=x2+2px+p2.\displaystyle (x+p)^2\,=\,x^2+2px+p^2.\,\!

مثال:

(x+3)2=x2+6x+9(p=3)(x5)2=x210x+25(p=5).\displaystyle \beginalignedat2(x+3)^2\,&=\,x^2+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^2\,&=\,x^2-10x+25\qquad &&(p=-5).\endalignedat

ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p2.

مثال بسيط[عدل]

في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

x2+10x+28.\displaystyle x^2+10x+28.\,\!

نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

(x+5)2=x2+10x+25.\displaystyle (x+5)^2\,=\,x^2+10x+25.\,\!

بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

x2+10x+28=(x+5)2+3.\displaystyle x^2+10x+28\,=\,(x+5)^2+3.

وهذا ما يسمى إكمال المربع.

وصف عام[عدل]

لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

x2+bx+c,\displaystyle x^2+bx+c,\,\!

يمكن أن نكون ‘مربعا كاملا’ له نفس الحدين الأولين

(x+12b)2=x2+bx+14b2.\displaystyle \left(x+\tfrac 12b\right)^2\,=\,x^2+bx+\tfrac 14b^2.

وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

x2+bx+c=(x+12b)2+k,\displaystyle x^2+bx+c\,=\,\left(x+\tfrac 12b\right)^2+k,

حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:

x2+6x+11=(x+3)2+2x2+14x+30=(x+7)219x22x+7=(x1)2+6.\displaystyle \beginalignedat1x^2+6x+11\,&=\,(x+3)^2+2\\[3pt]x^2+14x+30\,&=\,(x+7)^2-19\\[3pt]x^2-2x+7\,&=\,(x-1)^2+6.\endalignedat

غير واحدية المدخل[عدل]

لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:

ax2+bx+c\displaystyle ax^2+bx+c\,\!

يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:

3x2+12x+27=3(x2+4x+9)=3((x+2)2+5)=3(x+2)2+15\displaystyle \beginaligned3x^2+12x+27&=3(x^2+4x+9)\\&=3\left((x+2)^2+5\right)\\&=3(x+2)^2+15\endaligned

ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

a(x+h)2+k.\displaystyle a(x+h)^2+k.\,\!

صيغة عامة[عدل]

يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:

ax2+bx+c=a(x+h)2+k,\displaystyle ax^2+bx+c\;=\;a(x+h)^2+k,

حيث:

h=b2aandk=cah2=cb24a\displaystyle h=\frac b2a\quad \textand\quad k=c-ah^2=c-\frac b^24a

  • حالة خاصة عندما a=1:

x2+bx+c=(x+h)2+k,\displaystyle x^2+bx+c\;=\;(x+h)^2+k,

حيث:

h=b2andk=cb24\displaystyle h=\frac b2\quad \textand\quad k=c-\frac b^24

xTAx+xTb+c=(xh)TA(xh)+k\displaystyle x^\mathrm T Ax+x^\mathrm T b+c=(x-h)^\mathrm T A(x-h)+k

حيث:

h=12A1bandk=c14bTA1b\displaystyle h=-\frac 12A^-1b\quad \textand\quad k=c-\frac 14b^\mathrm T A^-1b

ويجب أن تكون المصفوفة

A\displaystyle A

متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة

A\displaystyle A

غير متماثلة فإن صيغة حساب

h\displaystyle h

و

k\displaystyle k

يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

h=(A+AT)1b\displaystyle h=-(A+A^\mathrm T )^-1b

.

و

k=chTAh=cbT(A+AT)1A(A+AT)1b\displaystyle k=c-h^\mathrm T Ah=c-b^\mathrm T (A+A^\mathrm T )^-1A(A+A^\mathrm T )^-1b

.

علاقته بالرسم[عدل]

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy.
فالدالة التربيعية على صورة:

(xh)2+kora(xh)2+k\displaystyle (x-h)^2+k\quad \textor\quad a(x-h)^2+k

الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.

ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ(x) = x2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل  (0, 0).

بينما رسم منحنى الدالة ƒ(x − h) = (x − h)2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h, 0) كما هو مبين بالشكل.

ورسم منحنى الدالة ƒ(x) + kx2 + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k، ورأسه هي نقطة

(0,k)\displaystyle (0,k)

كما هو مبين بالشكل الثاني.

ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ(x − h) + k = (x − h)2 + k

هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h، ومزاح لأعلى بالقيمة k، ورأسه عند النقطة (hk)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

حل المعادلات التربيعية[عدل]

تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:

x2+6x+5=0,\displaystyle x^2+6x+5=0,\,\!

الخطوة الأولى هي إكمال المربع:

(x+3)24=0.\displaystyle (x+3)^2-4=0.\,\!

ثم نحل الحد المربع:

(x+3)2=4.\displaystyle (x+3)^2=4.\,\!

وبالتالي إما

x+3=2orx+3=2,\displaystyle x+3=-2\quad \textor\quad x+3=2,

إذن

x=5orx=1.\displaystyle x=-5\quad \textor\quad x=-1.

ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

2x2+7x+6=0x2+72x+3=0(x+74)2116=0(x+74)2=116x+74=14orx+74=14x=32orx=2.\displaystyle \beginarrayc2x^2+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^2+\tfrac 72x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+\tfrac 74\right)^2-\tfrac 116\,=\,0\\[6pt]\left(x+\tfrac 74\right)^2\,=\,\tfrac 116\\[6pt]x+\tfrac 74=\tfrac 14\quad \textor\quad x+\tfrac 74=-\tfrac 14\\[6pt]x=-\tfrac 32\quad \textor\quad x=-2.\endarray

الجذور غير النسبية أو المركبة[عدل]

يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:

x210x+18=0.\displaystyle x^2-10x+18=0.\,\!

بإكمال المربع نحصل على

(x5)27=0,\displaystyle (x-5)^2-7=0,\,\!

وبالتالي

(x5)2=7.\displaystyle (x-5)^2=7.\,\!

إذن إما

x5=7orx5=7,\displaystyle x-5=-\sqrt 7\quad \textor\quad x-5=\sqrt 7,\,

إذن

x=57orx=5+7.\displaystyle x=5-\sqrt 7\quad \textor\quad x=5+\sqrt 7.\,

وعادةً تكتب على الصورة:

x=5±7.\displaystyle x=5\pm \sqrt 7.\,

ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

x2+4x+5=0(x+2)2+1=0(x+2)2=1x+2=±ix=2±i.\displaystyle \beginarraycx^2+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^2+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^2\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\endarray

حيث الرمز i يساوي

1\displaystyle \sqrt -1\,

تطبيقات أخرى[عدل]

التكامل[عدل]

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

dxax2+bx+c\displaystyle \int \frac dxax^2+bx+c

باستخدام قواعد التكامل

dxx2a2=12aln|xax+a|+Canddxx2+a2=1aarctan(xa)+C.\frac x-ax+a\right

مثال:

dxx2+6x+13.\displaystyle \int \frac dxx^2+6x+13.

بإكمال المربع للمقام نحصل على:

dx(x+3)2+4=dx(x+3)2+22.\displaystyle \int \frac dx(x+3)^2+4\,=\,\int \frac dx(x+3)^2+2^2.

وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

u = x + 3,

الذي يُنتج

dx(x+3)2+4=12arctan(x+32)+C.\displaystyle \int \frac dx(x+3)^2+4\,=\,\frac 12\arctan \left(\frac x+32\right)+C.

الأعداد المركبة[عدل]

العلاقة التالية

|z|2bzbz+c,^2-b^*z-bz^*+c,\,

حيث z وb هما عدادان مركبان، و

b,z,\displaystyle b^*,z^*,

هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة

|u|2=uu,u

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

|zb|2|b|2+c,b

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

|zb|2=(zb)(zb)=(zb)(zb)=zzzbbz+bb=|z|2zbbz+|b|2.\displaystyle z

مثال آخر المعادلة التالية:

ax2+by2+c,\displaystyle ax^2+by^2+c,\,\!

حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض

z=ax+iby.\displaystyle z=\sqrt a\,x+i\sqrt b\,y.

إذن

|z|2=zz=(ax+iby)(axiby)=ax2iabxy+ibayxi2by2=ax2+by2,\displaystyle \beginaligned

وبالتالي

ax2+by2+c=|z|2+c.z

المنظور الهندسي[عدل]

Completing the square 307.PNG

لإكمال المربع للمعادلة

x2+bx=a\displaystyle x^2+bx=a\,

حيث أن x2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه x،

وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x،

وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x2 ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد

(b/2)2\displaystyle (b/2)^2

الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع [1]

إكمال المربع بطريقة مختلفة[عدل]

كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v 2 إلى المعادلة

u2+2uv\displaystyle u^2+2uv\,

لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv) أو (2uv-) إلى المعادلة

u2+v2\displaystyle u^2+v^2\,

لنحصل على مربع على الصورة:

u2+v2=u2+2uv+v22uv=(u+v)22uv\displaystyle u^2+v^2=u^2+2uv+v^2-2uv=(u+v)^2-2uv\,

أو

u2+v2=u22uv+v2+2uv=(uv)2+2uv\displaystyle u^2+v^2=u^2-2uv+v^2+2uv=(u-v)^2+2uv\,

مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه[عدل]

إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب

x\displaystyle x\,

مع مقلوبه

1x\displaystyle 1 \over x\,

يمكننا استخدام هذه الطريقة:

x+1x=(x2+1x)+2=(x1x)2+2{\displaystyle \beginalignedx+1 \over x&=\left(x-2+1 \over x\right)+2\\&=\left(\sqrt x-1 \over \sqrt x\right)^2+2\endaligned}

واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

مثال: تحليل معادلة بسيطة[عدل]

عند تحليل المعادلة التالية

x4+324.\displaystyle x^4+324.\,\!

نجد أنها على صورة

(x2)2+(18)2,\displaystyle (x^2)^2+(18)^2,\,\!

وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

2x2(18)=36x2,\displaystyle 2*x^2*(18)=36x^2,\,\!

فسوف نحصل على

x4+324=(x4+36x2+324)36x2=(x2+18)2(6x)2\displaystyle \beginalignedx^4+324&=(x^4+36x^2+324)-36x^2\\&=(x^2+18)^2-(6x)^2\endaligned

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

=(x2+18+6x)(x2+186x)=(x2+6x+18)(x26x+18)\displaystyle \beginaligned&=(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\&=(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\endaligned

السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.

مصادر[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

ما قبل حساب التفاضل والتكامل
النهايات
حساب التفاضل
اشتقاق · ترميز نيوتن للتفاضل · ترميز لايبنتز للتفاضل · ترميز نقطي للتفاضل · اشتقاق ثابت · قاعدة المجموع في التفاضل · قاعدة العامل الثابت في التفاضل · خطية التفاضل · حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود · اشتقاق (أمثلة) · قاعدة السلسلة · قاعدة الجداء · قاعدة ناتج القسمة · دوال عكسية و تفاضلها · تفاضل ضمني · نقطة ثابتة · العظمى والصغرى · اختبار المشتقة الأولى · اختبار المشتقة الثانية · مبرهنة القيمة المتطرفة · معادلة تفاضلية · مؤثر تفاضلي · طريقة نيوتن · مبرهنة تايلور · قاعدة اوبيتال · قاعدة لايبنتز · مبرهنة القيمة المتوسطة · اشتقاق لوغاريتمي · تفاضل (رياضيات) · معدلات مرتبطة
حساب التكامل
دوال وأعداد خاصة
تكامل عددي
قوائم وجداول
متغيرات متعددة
متسلسلات
حساب التفاضل والتكامل غير القياسي
تاريخ التفاضل والتكامل
مشاريع شقيقة في كومنز صور وملفات عن: إكمال المربع

Source: إكمال المربع
Wikipedia

فيديو حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

( 45 ) الدرس الرابع : حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع ( كتاب الطالب )

منهاج اردني
مادة الرياضيات
#الصف_التاسع
#الفصل_الأول
كتاب الطالب
الوحدة الثالثة : حل المعادلات
الدرس الرابع : حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

للتسجيل في منصة حصص أونلاين :
https://hisasonline.com/auth/login
———————————————————-
شرح مادة الرياضيات الصف التاسع الفصل الأول كاملة :

———————————————————-
شرح مادة الفاقد التعليمي الصف التاسع :

————————————————————
👈👈 مواقع التواصل الإجتماعي 👉👉
رابط قناة التيليجرام :
https://t.me/+WDB_MKYkSbYwNWI0

رابط قناة اليوتيوب :
https://youtube.com/channel/UCLBzQEwoKc2ho0vhhyuIK7Q

الواتس آب : 0786283300

رابط حسابي على الفيس بوك :
https://www.facebook.com/profile.php?id=100006298783011

رابط المجموعة على الفيس بوك :
https://www.facebook.com/groups/2929437640603141/?ref=share_group_link

رابط حسابي على انستغرام :
https://www.instagram.com/ammar_alkaraky?r=nametag

رابط حسابي على تكتوك :
https://vt.tiktok.com/ZSRXRoWkp/

سؤال حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

إذا كانت لديك أي أسئلة حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع ، فيرجى إخبارنا ، وستساعدنا جميع أسئلتك أو اقتراحاتك في تحسين المقالات التالية!

تم تجميع المقالة حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع من قبل أنا وفريقي من عدة مصادر. إذا وجدت المقالة حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع مفيدة لك ، فالرجاء دعم الفريق أعجبني أو شارك!

قيم المقالات إكمال المربع

التقييم: 4-5 نجوم
التقييمات: 5 7 7 7
المشاهدات: 2 8 5 4 8 2 0 0

بحث عن الكلمات الرئيسية حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

1. بناء: البناء هو عملية إنشاء أو إعادة بناء شيء ما، وهو عادة ما يتضمن الإعداد، التصميم، والتنفيذ.

2. تصميم: التصميم هو عملية تطوير مخططات لبناء شيء ما، وهي عادة ما تتضمن التحليل، والتخطيط، والتصميم الجغرافي.

3. واجهة المستخدم: واجهة المستخدم هي الوسيلة التي يستخدمها المستخدم للتفاعل مع النظام الحاسوبي، وهي عادة ما تتضمن الواجهة الشكلية، والواجهة الصوتية، والواجهة اللمسية.

4. تجربة المستخدم: تجربة المستخدم هي عملية تحليل وتقييم الطرق المختلفة التي يستخدمها المستخدم للتفاعل مع النظام الحاسوبي، وهي عادة ما تتضمن التجربة العملية والتجربة الإحصائية.
#إكمال #المربع

المصدر: ar.wikipedia.org