إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل

$\displaystyle ax^2+bx+c\,\!$

إلى الشكل

$\displaystyle a(\cdots \cdots )^2+\mboxconstant.\,$

ومصطلح “constant” يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على x. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (x + constant) ، بمعنى أن:

$\displaystyle ax^2+bx+c\,\!$

تحولت إلى

$\displaystyle a(x+h)^2+k\,$

بقيم معينة لكلا من h و k.

استخدامات طريقة إكمال المربع:

• حل المعادلات التربيعية
• رسم المعادلات التربيعية
• حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.
• إيجاد تحويل لابلاس.

ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

مقدمة[عدل]

تمهيد[عدل]

يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

$\displaystyle (x+p)^2\,=\,x^2+2px+p^2.\,\!$

مثال:

$\displaystyle \beginalignedat2(x+3)^2\,&=\,x^2+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^2\,&=\,x^2-10x+25\qquad &&(p=-5).\endalignedat$

ففي أي مربع كامل العدد p يكون دائما هو نصف معامل x ، ويكون الحد الثابت هو مربع p أي يساوي p².

مثال بسيط[عدل]

في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

$\displaystyle x^2+10x+28.\,\!$

نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

$\displaystyle (x+5)^2\,=\,x^2+10x+25.\,\!$

بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

$\displaystyle x^2+10x+28\,=\,(x+5)^2+3.$

وهذا ما يسمى إكمال المربع.

وصف عام[عدل]

لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل x يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

$\displaystyle x^2+bx+c,\,\!$

يمكن أن نكون ‘مربعا كاملا’ له نفس الحدين الأولين

$\displaystyle \left(x+\tfrac 12b\right)^2\,=\,x^2+bx+\tfrac 14b^2.$

وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

$\displaystyle x^2+bx+c\,=\,\left(x+\tfrac 12b\right)^2+k,$

حيث k هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:

$\displaystyle \beginalignedat1x^2+6x+11\,&=\,(x+3)^2+2\\[3pt]x^2+14x+30\,&=\,(x+7)^2-19\\[3pt]x^2-2x+7\,&=\,(x-1)^2+6.\endalignedat$

غير واحدية المدخل[عدل]

لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل x لا يساوي 1) على الصورة:

$\displaystyle ax^2+bx+c\,\!$

يمكن أن نقوم باتخاذ a معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:

$\displaystyle \beginaligned3x^2+12x+27&=3(x^2+4x+9)\\&=3\left((x+2)^2+5\right)\\&=3(x+2)^2+15\endaligned$

ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

$\displaystyle a(x+h)^2+k.\,\!$

صيغة عامة[عدل]

يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:

$\displaystyle ax^2+bx+c\;=\;a(x+h)^2+k,$

حيث:

$\displaystyle h=\frac b2a\quad \textand\quad k=c-ah^2=c-\frac b^24a$

• حالة خاصة عندما a=1:

$\displaystyle x^2+bx+c\;=\;(x+h)^2+k,$

حيث:

$\displaystyle h=\frac b2\quad \textand\quad k=c-\frac b^24$

• وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):

$\displaystyle x^\mathrm T Ax+x^\mathrm T b+c=(x-h)^\mathrm T A(x-h)+k$

حيث:

$\displaystyle h=-\frac 12A^-1b\quad \textand\quad k=c-\frac 14b^\mathrm T A^-1b$

ويجب أن تكون المصفوفة

$\displaystyle A$

متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة

$\displaystyle A$

غير متماثلة فإن صيغة حساب

$\displaystyle h$

و

$\displaystyle k$

يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

$\displaystyle h=-(A+A^\mathrm T )^-1b$

.

و

$\displaystyle k=c-h^\mathrm T Ah=c-b^\mathrm T (A+A^\mathrm T )^-1A(A+A^\mathrm T )^-1b$

.

علاقته بالرسم[عدل]

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى xy.
فالدالة التربيعية على صورة:

$\displaystyle (x-h)^2+k\quad \textor\quad a(x-h)^2+k$

الأرقام h و k تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل h الإحداثي x لمحور التماثل، بينما تمثل k القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت a < 0 ) للدالة التربيعية.

ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية ƒ(x) = x² هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل  (0, 0).

بينما رسم منحنى الدالة ƒ(x − h) = (x − h)² هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة h ورأسه هي (h, 0) كما هو مبين بالشكل.

ورسم منحنى الدالة ƒ(x) + k = x² + k هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة k، ورأسه هي نقطة

$\displaystyle (0,k)$

كما هو مبين بالشكل الثاني.

ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة ƒ(x − h) + k = (x − h)² + k

هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة h، ومزاح لأعلى بالقيمة k، ورأسه عند النقطة (h, k)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

حل المعادلات التربيعية[عدل]

تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:

$\displaystyle x^2+6x+5=0,\,\!$

الخطوة الأولى هي إكمال المربع:

$\displaystyle (x+3)^2-4=0.\,\!$

ثم نحل الحد المربع:

$\displaystyle (x+3)^2=4.\,\!$

وبالتالي إما

$\displaystyle x+3=-2\quad \textor\quad x+3=2,$

إذن

$\displaystyle x=-5\quad \textor\quad x=-1.$

ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل x² لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

$\displaystyle \beginarrayc2x^2+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^2+\tfrac 72x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+\tfrac 74\right)^2-\tfrac 116\,=\,0\\[6pt]\left(x+\tfrac 74\right)^2\,=\,\tfrac 116\\[6pt]x+\tfrac 74=\tfrac 14\quad \textor\quad x+\tfrac 74=-\tfrac 14\\[6pt]x=-\tfrac 32\quad \textor\quad x=-2.\endarray$

الجذور غير النسبية أو المركبة[عدل]

يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:

$\displaystyle x^2-10x+18=0.\,\!$

بإكمال المربع نحصل على

$\displaystyle (x-5)^2-7=0,\,\!$

وبالتالي

$\displaystyle (x-5)^2=7.\,\!$

إذن إما

$\displaystyle x-5=-\sqrt 7\quad \textor\quad x-5=\sqrt 7,\,$

إذن

$\displaystyle x=5-\sqrt 7\quad \textor\quad x=5+\sqrt 7.\,$

وعادةً تكتب على الصورة:

$\displaystyle x=5\pm \sqrt 7.\,$

ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

$\displaystyle \beginarraycx^2+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^2+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^2\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\endarray$

حيث الرمز i يساوي

$\displaystyle \sqrt -1\,$

تطبيقات أخرى[عدل]

التكامل[عدل]

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

$\displaystyle \int \frac dxax^2+bx+c$

باستخدام قواعد التكامل

$\frac x-ax+a\right$

مثال:

$\displaystyle \int \frac dxx^2+6x+13.$

بإكمال المربع للمقام نحصل على:

$\displaystyle \int \frac dx(x+3)^2+4\,=\,\int \frac dx(x+3)^2+2^2.$

وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

u = x + 3,

الذي يُنتج

$\displaystyle \int \frac dx(x+3)^2+4\,=\,\frac 12\arctan \left(\frac x+32\right)+C.$

الأعداد المركبة[عدل]

العلاقة التالية

$^2-b^*z-bz^*+c,\,$

حيث z وb هما عدادان مركبان، و

$\displaystyle b^*,z^*,$

هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و c هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة

$u$

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

$b$

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

$\displaystyle z$

مثال آخر المعادلة التالية:

$\displaystyle ax^2+by^2+c,\,\!$

حيث a و b و c و x و y هي أعداد حقيقية، و a > 0 و b > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض

$\displaystyle z=\sqrt a\,x+i\sqrt b\,y.$

إذن

$\displaystyle \beginaligned$

وبالتالي

$z$

المنظور الهندسي[عدل]

لإكمال المربع للمعادلة

$\displaystyle x^2+bx=a\,$

حيث أن x² تمثل مساحة مربع طول ضلعه x،

وbx تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما b و x،

وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع x² ) و(المستطيل bx ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد

$\displaystyle (b/2)^2$

الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع [1]

إكمال المربع بطريقة مختلفة[عدل]

كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث v ² إلى المعادلة

$\displaystyle u^2+2uv\,$

لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2uv) أو (2uv-) إلى المعادلة

$\displaystyle u^2+v^2\,$

لنحصل على مربع على الصورة:

$\displaystyle u^2+v^2=u^2+2uv+v^2-2uv=(u+v)^2-2uv\,$

أو

$\displaystyle u^2+v^2=u^2-2uv+v^2+2uv=(u-v)^2+2uv\,$

مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه[عدل]

إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب

$\displaystyle x\,$

مع مقلوبه

$\displaystyle 1 \over x\,$

يمكننا استخدام هذه الطريقة:

${\displaystyle \beginalignedx+1 \over x&=\left(x-2+1 \over x\right)+2\\&=\left(\sqrt x-1 \over \sqrt x\right)^2+2\endaligned}$

واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

مثال: تحليل معادلة بسيطة[عدل]

عند تحليل المعادلة التالية

$\displaystyle x^4+324.\,\!$

نجد أنها على صورة

$\displaystyle (x^2)^2+(18)^2,\,\!$

وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

$\displaystyle 2*x^2*(18)=36x^2,\,\!$

فسوف نحصل على

$\displaystyle \beginalignedx^4+324&=(x^4+36x^2+324)-36x^2\\&=(x^2+18)^2-(6x)^2\endaligned$

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

$\displaystyle \beginaligned&=(x^2+18+6x)(x^2+18-6x)\\&=(x^2+6x+18)(x^2-6x+18)\endaligned$

السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير x.

مصادر[عدل]

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]

• إكمال المربع على بلانيت ماث
• كيفية إكمال المربع, Education Portal Academy

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر

في كومنز صور وملفات عن: إكمال المربع

مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=إكمال_المربع&oldid=60117990»