في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations)‏ هي مجموعة من المعادلات الخطية، تضم نفس المجموعة من المتغيرات.^[1][2] على سبيل المثال:

$\displaystyle \beginalignedat73x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&\tfrac 12y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\endalignedat$

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

$\displaystyle \beginalignedat2x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\endalignedat$

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

الشكل العام[عدل المصدر]

$\displaystyle \beginalignedat7a_11x_1&&\;+\;&&a_12x_2&&\;+\cdots +\;&&a_1nx_n&&\;=\;&&&b_1\\a_21x_1&&\;+\;&&a_22x_2&&\;+\cdots +\;&&a_2nx_n&&\;=\;&&&b_2\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_m1x_1&&\;+\;&&a_m2x_2&&\;+\cdots +\;&&a_mnx_n&&\;=\;&&&b_m.\\\endalignedat$

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

$\displaystyle x_1\beginbmatrixa_11\\a_21\\\vdots \\a_m1\endbmatrix+x_2\beginbmatrixa_12\\a_22\\\vdots \\a_m2\endbmatrix+\cdots +x_n\beginbmatrixa_1n\\a_2n\\\vdots \\a_mn\endbmatrix=\beginbmatrixb_1\\b_2\\\vdots \\b_m\endbmatrix$

2. معادلات مصفوفة:

$\displaystyle A\mathbf x =\mathbf b$

$\displaystyle A=\beginbmatrixa_11&a_12&\cdots &a_1n\\a_21&a_22&\cdots &a_2n\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_m1&a_m2&\cdots &a_mn\endbmatrix,\quad \mathbf x =\beginbmatrixx_1\\x_2\\\vdots \\x_n\endbmatrix,\quad \mathbf b =\beginbmatrixb_1\\b_2\\\vdots \\b_m\endbmatrix$

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

• حسب المصفوفات غاوس,

[1]

• قاعدة كرامر، [2]
• طريقة التعويض.

خصائص[عدل المصدر]

الاستقلالية[عدل المصدر]

انظر إلى استقلال خطي.

التناسق[عدل المصدر]

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

$\displaystyle 3x+2y=6$

و

$\displaystyle \;\;\;\;3x+2y=12$

غير متناسقتين.

التكافؤ[عدل المصدر]

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

$\displaystyle 3x+y=6$

و

$\displaystyle \;\;\;\;3x+3y=12$

متكافئتان لأن

$\displaystyle x=1,y=3$

.

حلحلة النظام الخطي[عدل المصدر]

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات[عدل المصدر]

$\displaystyle \beginalignedat7x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\endalignedat$

$\displaystyle \beginalignedat5-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\endalignedat$

$\displaystyle \beginalignedat7x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\endalignedat$

تبسيط الصفوف[عدل المصدر]

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر[عدل المصدر]

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\displaystyle \beginalignedat7x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\endalignedat$

تعطى بما يلي:

${\displaystyle x=\frac \,\left\beginmatrix1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\endmatrix\right,\;\;\;\;y=\frac \beginmatrix1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\endmatrix\right\,\left,\;\;\;\;z=\frac \,\,.}$

طرق أخرى[عدل المصدر]

طريقة الجمع[عدل المصدر]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\displaystyle \beginalignedat7x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\endalignedat$

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

$\displaystyle -2y=-2\,$

أي أن:

$\displaystyle y=1\,$

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

$\displaystyle x=2\,$

طريقة التعويض[عدل المصدر]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

$\displaystyle \beginalignedat7x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\endalignedat$

نأخذ

فنجد :

$\displaystyle \beginalignedat73&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\endalignedat$

أي :

$\displaystyle \beginalignedat7y&\;=&\;\frac 3-12&\;=&\;1\\\endalignedat$

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

$\displaystyle \beginalignedat7x+1&\;=&\;3\\\endalignedat$

أي أن :

$\displaystyle \beginalignedat7x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\endalignedat$

هكذا :

و

الأنظمة المتجانسة[عدل المصدر]

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

$\displaystyle \beginalignedat7a_11x_1&&\;+\;&&a_12x_2&&\;+\cdots +\;&&a_1nx_n&&\;=\;&&&0\\a_21x_1&&\;+\;&&a_22x_2&&\;+\cdots +\;&&a_2nx_n&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\,\vdots \\a_m1x_1&&\;+\;&&a_m2x_2&&\;+\cdots +\;&&a_mnx_n&&\;=\;&&&0.\\\endalignedat$

مجموعة الحلول[عدل المصدر]

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

مراجع[عدل المصدر]

انظر أيضا[عدل المصدر]

• تبسيط الصفوف،
• المعادلات المترابطة،
• تفكيك المصفوفات،
• مربعات دنيا خطية.

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر

في كومنز صور وملفات عن: نظام معادلات خطية