دالة تربيعية
A كثير حدود تربيعيّ ذو جذرين حقيقيَّين (نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور x) وبالتالي لا يوجد جذور عُقَدِيّة. بعض كثيرات الحدود التربيعيّة تمتلك قيماً صُغرى فوق المحور x، وفي هذه الحالة لا يوجد للدالة جذور حقيقيّة ولكن يوجد لها جذرين عُقَدِيَّين.
تدوين	$\displaystyle ax^2+bx+c$
مشتق الدالة	$\displaystyle 2ax+b$
مشتق عكسي (تكامل)	$\displaystyle \frac a3x^3+\frac b2x^2+cx+C$
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟	زوجية، إذا كان $\displaystyle b,c=0$
مجال الدالة	$\displaystyle ]-\infty ,+\infty [$
المجال المقابل	$\displaystyle [c-\tfrac b^24a,+\infty [$ ، إذا كان a>0. $\displaystyle ]-\infty ,c-\tfrac b^24a]$ ، إذا كان a<0.
قيم محددة
نهاية الدالة عند +∞	$\displaystyle +\infty$ إذا كان $\displaystyle a>0$ $\displaystyle -\infty$ إذا كان $\displaystyle a<0$
نهاية الدالة عند -∞	$\displaystyle +\infty$ إذا كان $\displaystyle a>0$ $\displaystyle -\infty$ إذا كان $\displaystyle a<0$
جذور الدالة	${\displaystyle {\frac -b\pm \sqrt b^2-4ac2a}}$
نقاط حرجة	$\displaystyle -\frac b2a$
ملاحظات	$\displaystyle \quad a\neq 0$
تعديل مصدري – تعديل

في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة x و y و z بشكل حصريّ على الحدود x² و y² و z² و xy و xz و yz و x و y و z وثابت:

$\displaystyle f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,$

بالإضافة إلى أحد المعاملات a أو b أو c أو d أو e أو f للحدود ذات الدرجة الثانية، ويجب أن يكون أحدها على الأقل لا يساوي الصفر.
يكون للدالة التربيعية أحادية المتغير، يكون لها الشكل الآتي^[1]

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0$

في حالة المتغير الواحد، يكون الرسم البياني بشكل قطع مكافئ يكون محور تناظره موازٍ للمحور y كما هو مُوضح في الشكل إلى اليسار.
أيضاً تُدعى الدالة التربيعيّة فيما لو ساوَت الصفر المعادلة التربيعيّة. وتكون حلول هذه المعادلة أحاديّة المتغير جُذُور الدالة التربيعيّة
أما في حالة الدالة ثنائية المتغيِّرات x و y، يكون للدالة الشكل الآتي

$\displaystyle f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f\,\!$

و يكون في هذه الحالة a أو b أو c على الأقل لا تساوي الصفر، وإن مُعادلة هذه الدالة، أي عندما تساوي هذه الدالة صفراً، فإن المعادلة ستعطي قطعاً مخروطيَّاً (دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد).
عموماً، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات، وفي هذه الحالة تُدعى السطوح الناتجة بالسطوح من الدرجة الثانية أو السطوح التربيعيّة، ولكن يجب أن تكون أعلى درجة هي الدرجة الثانية، كـ x², xy, yz إلخ.

اشتقاق الاسم[عدل]

يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم (بالإنجليزية: Quadratic function)‏ باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة quadrātum والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز x² وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.

المصطلح[عدل]

المعاملات[عدل]

تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة.

الدرجة[عدل]

عند استخدام مصطلح «كثير حدود من الدرجة الثانية»، يقصد الكتاب أحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً»، وأحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر». وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «حالة تدهور». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.

أحياناً تُستخدم كلمة «المرتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية.

المتغيرات[عدل]

يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات).

حالة متغير واحد[عدل]

قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي

$\displaystyle ax^2+bx+c,\,\!$

حيث x هو المتغيِّر، و aو b و c تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية

$\displaystyle ax^2+bx+c=0$

وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً.

حالة متغيران[عدل]

قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي

$\displaystyle f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f,\,\!$

حيث x و y متغيِّرات، بينما a و b و c و d و e و f معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة f (x, y) إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة والسطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.

أشكال الدالة التربيعيّة ذات المتغير الواحد[عدل]

يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ:^[2]

• 
  $\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\,\!$

  يُدعى الشكل المعياريّ

• 
  $\displaystyle f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\,\!$

  يُدعى الشَّكل المُفَكَّك (المُحلَّل إلى عوامل)، حيث r₁ وr₂ جذور للدالة التربيعيّة وحلول للمعادلة التربيعيّة (من الدرجة الثانية) الموافقة لهذه الدالة.

• 
  $\displaystyle f(x)=a(x-h)^2+k\,\!$

  يُدعى الشكل المُتَّجِهيّ h وkوx وy هي إحداثيّات المتجه على التوالي.

للمعامل a القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين r₁ وr₂. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.

رسم الدالة التربيعية وحيدة المتغير[عدل]

بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$

يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات

$\displaystyle y=ax^2+bx+c$

.

• إذا كان a > 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأعلى
• إذا كان a < 0، فإن فتحة (تقعُّر) المنحني تتجه لأسفل

يتحكَّم المعامل a بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة a يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.
يتحكَّم المعاملان b وa معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات x لذروة المنحني) والذي

$\displaystyle x=-\frac b2a.$

بينما يتحكَّم المعامل c بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور y.

الذروة[عدل]

تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي (h, k). ويمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\,\!$

إلى الشكل

${\displaystyle \beginalignedf(x)&=ax^2+bx+c\\&=a(x-h)^2+k\\&=a\left(x-\frac -b2a\right)^2+\left(c-\frac b^24a\right),\\\endaligned}$

لذا تكون ذروة القطع المكافئ (h, k) في الشكل المعياريّ

$\displaystyle \left(-\frac b2a,c-\frac b^24a\right).$

وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله)

$\displaystyle f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\,\!$

فإن متوسط الجذرين

$\displaystyle \frac r_1+r_22\,\!$

هو إحداثية x الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة (h, k)

$\displaystyle \left(\frac r_1+r_22,f\left(\frac r_1+r_22\right)\right).\!$

كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت a < 0 أو أصغر نقطة إذا كانت a > 0
وإن الخط العمدي التالي

$\displaystyle x=h=-\frac b2a$

والذي يم من الذروة هو أيضاً محور تناظر القطع المكافئ.

القيمتين الكبرى والصغرى[عدل]

باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق:

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.$

x هي جذر f ‘(x) إذا كانت f ‘(x) = 0 وبالتالي

$\displaystyle x=-\frac b2a$

وبالتعويض في الدالة نجد

$\displaystyle f(x)=a\left(-\frac b2a\right)^2+b\left(-\frac b2a\right)+c=c-\frac b^24a\,\!,$

وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة (h, k) بالصيغة

$\displaystyle \left(-\frac b2a,c-\frac b^24a\right).$

جذور الدالة وحيدة المتغير[عدل]

الجذور[عدل]

إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر r₁ وr₂

$\displaystyle \beginalignedf(x)&=ax^2+bx+c\\&=a(x-r_1)(x-r_2),\\\endaligned$

هي قيم x التي تجعل f(x) = 0.
وعندما تكون المعاملات a وb وc أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور

${\displaystyle r_1={\frac -b-\sqrt b^2-4ac2a},}$

${\displaystyle r_2={\frac -b+\sqrt b^2-4ac2a}.}$

الحد الأعلى لحد الجذور[عدل]

لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية)

$\displaystyle ax^2+bx+c\,$

أن تكون أكبر من

$\displaystyle \frac ,\times \phi ,\,$

حيث

$\displaystyle \phi$

النسبة الذهبيّة وهي

${\displaystyle \frac 1+\sqrt 52.}$

^[4]

الجذر التربيعي لدالة تربيعية وحيدة المتغير[عدل]

يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.
إذا كانت

$\displaystyle a>0\,\!$

فإن المعادلة

$\displaystyle y=\pm \sqrt ax^2+bx+c$

تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور y) من القطع المكافئ المقابل

$\displaystyle y_p=ax^2+bx+c\,\!$

. إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.
إذا كانت

$\displaystyle a<0\,\!$

فإن المعادلة

$\displaystyle y=\pm \sqrt ax^2+bx+c$

تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل

$\displaystyle y_p=ax^2+bx+c\,\!$

موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.

التكرار[عدل]

لتكرار دالة

$\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c$

يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.
لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ

$\displaystyle f^(n)(x)$

والذي يعني أن n^th تكراراً لِـ

$\displaystyle f(x)$

.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس

$\displaystyle f(x)$

إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.
على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية

$\displaystyle f(x)=a(x-c)^2+c$

وعندما يكون

$\displaystyle f(x)=a(x-c)^2+c=h^(-1)(g(h(x))),\,\!$

حيث

$\displaystyle g(x)=ax^2\,\!$

and

$\displaystyle h(x)=x-c.\,\!$

و بالاستقراء نجد

$\displaystyle f^(n)(x)=h^(-1)(g^(n)(h(x)))\,\!$

يمكن الحصول عليه، حيث

$\displaystyle g^(n)(x)$

يمكن حسابه بسهولة كـ

$\displaystyle g^(n)(x)=a^2^n-1x^2^n.\,\!$

أخيراً لدينا

$\displaystyle f^(n)(x)=a^2^n-1(x-c)^2^n+c\,\!$

وهو الحل.
يمكن حل المتتالية اللوجستية

$\displaystyle x_n+1=rx_n(1-x_n),\quad 0\leq x_0<1$

بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة وإحداها ليست. في الحالات الفوضويّة r=4 الحل هو

$\displaystyle x_n=\sin ^2(2^n\theta \pi )$

حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية

$\displaystyle \theta$

بواسطة

$\displaystyle \theta =\tfrac 1\pi \sin ^-1(x_0^1/2)$

. ولقيمة عقلانية لِـ

$\displaystyle \theta$

، بعد عدد منتهي من التكرارات

$\displaystyle x_n$

متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن تقريباً جميع

$\displaystyle \theta$

غير منطقيّة، ومن أجل

$\displaystyle \theta$

منطقية لا تُكرِّر

$\displaystyle x_n$

نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة.
حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون r=2
الحل:

$\displaystyle x_n=\frac 12-\frac 12(1-2x_0)^2^n$

من أجل

$\displaystyle x_0\in [0,1)$

. وإذا

$\displaystyle (1-2x_0)\in (-1,1)$

لأي قيمة من

$\displaystyle x_0$

ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح

$\displaystyle (1-2x_0)^2^n$

يسعى إلى 0 كما تسعى n إلى اللانهاية، لذا فإن

$\displaystyle x_n$

تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرة

$\displaystyle \tfrac 12.$

.

دالة تربيعية ثنائية المتغيرات[عدل]

يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل

$\displaystyle f(x,y)=Ax^2+By^2+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

حيث A و B و C و D و E معاملات ثابتة و F حدٌ ثابت.
تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد

$\displaystyle f(x,y)\,\!$

يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى

$\displaystyle z=0\,\!$

، وهو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص.

النقاط الصغرى والكبرى[عدل]

إذا كانت

$\displaystyle 4AB-E^2<0\,$

فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، ورسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي
إذا كانت

$\displaystyle 4AB-E^2>0\,$

فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان A>0 وقيمة كبرى إذا كان A<0، ويكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند

$\displaystyle (x_m,y_m)\,$

حيث:

$\displaystyle x_m=-\frac 2BC-DE4AB-E^2,$

$\displaystyle y_m=-\frac 2AD-CE4AB-E^2.$

و إذا كانت

$\displaystyle 4AB-E^2=0\,$

و

$\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$

لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، ويكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة.
إذا كانت

$\displaystyle 4AB-E^2=0\,$

و

$\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,$

فإن الدالة تحقق قيم صغرى وكبرى عند حد أدنى إذا كانت A>0 وأعلى إذا كانت A<0، ويكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة

انظر أيضًا[عدل]

• شكل تربيعي
• معادلة تربيعية
• قائمة الدوال الرياضية
• سطح درجة ثانية
• قائمة الدوال الرياضية
• التكامل الوظيفي

مراجع[عدل]

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي

في كومنز صور وملفات عن: دالة تربيعية

مجلوبة من «https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=دالة_تربيعية&oldid=60129733»